Algèbre Exemples

$\log_{8} (48) - \log_{8} (w) = \log_{8} (4)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{8} (\frac{48}{w}) = \log_{8} (4)$

Étape 2

La base logarithmique $8$ de $4$ est $\frac{2}{3}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{8} (4) = x$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{8} (4) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$8^{x} = 4$

Étape 2.3

Créez dans l’équation des expressions qui ont toutes des bases égales.

${(2^{3})}^{x} = 2^{2}$

Étape 2.4

Réécrivez ${(2^{3})}^{x}$ comme $2^{3 x}$ .

$2^{3 x} = 2^{2}$

Étape 2.5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$3 x = 2$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 2.7

La variable $x$ est égale à $\frac{2}{3}$ .

$\log_{8} (\frac{48}{w}) = \frac{2}{3}$

Étape 3

Réécrivez $\log_{8} (\frac{48}{w}) = \frac{2}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$8^{\frac{2}{3}} = \frac{48}{w}$

Étape 4

Résolvez $w$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{48}{w} = 8^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{48}{w} = 8^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2

Factorisez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{48}{w} = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{48}{w} = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{48}{w} = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{48}{w} = 2^{2}$

Étape 4.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{48}{w} = 4$

Étape 4.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$w, 1$

Étape 4.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$w$

Étape 4.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{48}{w} = 4$ par $w$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{48}{w} = 4$ par $w$ .

$\frac{48}{w} w = 4 w$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $w$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{48}{w} w = 4 w$

Étape 4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$48 = 4 w$

Étape 4.5

Résolvez l’équation.

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’équation comme $4 w = 48$ .

$4 w = 48$

Étape 4.5.2

Divisez chaque terme dans $4 w = 48$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 w = 48$ par $4$ .

$\frac{4 w}{4} = \frac{48}{4}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 w}{4} = \frac{48}{4}$

Étape 4.5.2.2.1.2

Divisez $w$ par $1$ .

$w = \frac{48}{4}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.3.1

Divisez $48$ par $4$ .

$w = 12$