Algèbre Exemples

$\frac{z^{2} - 16 z + 64}{40 - 5 z} \cdot \frac{c}{z^{2} - 10 z + 16} = 1$

Étape 1

Simplifiez $\frac{z^{2} - 16 z + 64}{40 - 5 z} \cdot \frac{c}{z^{2} - 10 z + 16}$ .

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Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 16 z + 8^{2}}{40 - 5 z} \cdot \frac{c}{z^{2} - 10 z + 16} = 1$

Étape 1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 z = 2 \cdot z \cdot 8$

Étape 1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 8 + 8^{2}}{40 - 5 z} \cdot \frac{c}{z^{2} - 10 z + 16} = 1$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = z$ et $b = 8$ .

$\frac{{(z - 8)}^{2}}{40 - 5 z} \cdot \frac{c}{z^{2} - 10 z + 16} = 1$

Étape 1.2

Factorisez $5$ à partir de $40 - 5 z$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $40$ .

$\frac{{(z - 8)}^{2}}{5 (8) - 5 z} \cdot \frac{c}{z^{2} - 10 z + 16} = 1$

Étape 1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 z$ .

$\frac{{(z - 8)}^{2}}{5 (8) + 5 (- z)} \cdot \frac{c}{z^{2} - 10 z + 16} = 1$

Étape 1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (8) + 5 (- z)$ .

$\frac{{(z - 8)}^{2}}{5 (8 - z)} \cdot \frac{c}{z^{2} - 10 z + 16} = 1$

Étape 1.3

Factorisez $z^{2} - 10 z + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 8, - 2$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(z - 8)}^{2}}{5 (8 - z)} \cdot \frac{c}{(z - 8) (z - 2)} = 1$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Associez.

$\frac{{(z - 8)}^{2} c}{5 (8 - z) ((z - 8) (z - 2))} = 1$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun à ${(z - 8)}^{2}$ et $z - 8$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $z - 8$ à partir de ${(z - 8)}^{2} c$ .

$\frac{(z - 8) ((z - 8) c)}{5 (8 - z) ((z - 8) (z - 2))} = 1$

Étape 1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1

Factorisez $z - 8$ à partir de $5 (8 - z) ((z - 8) (z - 2))$ .

$\frac{(z - 8) ((z - 8) c)}{(z - 8) (5 (8 - z) (z - 2))} = 1$

Étape 1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z - 8) ((z - 8) c)}{(z - 8) (5 (8 - z) (z - 2))} = 1$

Étape 1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(z - 8) c}{5 (8 - z) (z - 2)} = 1$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun à $z - 8$ et $8 - z$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $z$ .

$\frac{(- 1 (- z) - 8) c}{5 (8 - z) (z - 2)} = 1$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{(- 1 (- z) - 1 (8)) c}{5 (8 - z) (z - 2)} = 1$

Étape 1.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- z) - 1 (8)$ .

$\frac{- 1 (- z + 8) c}{5 (8 - z) (z - 2)} = 1$

Étape 1.4.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- z + 8) c}{5 (- z + 8) (z - 2)} = 1$

Étape 1.4.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- z + 8) c}{5 (- z + 8) (z - 2)} = 1$

Étape 1.4.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 c}{5 (z - 2)} = 1$

Étape 1.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{c}{5 (z - 2)} = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- \frac{c}{5 (z - 2)} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{c}{5 (z - 2)} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{c}{5 (z - 2)}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{c}{5 (z - 2)}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.2.2

Divisez $\frac{c}{5 (z - 2)}$ par $1$ .

$\frac{c}{5 (z - 2)} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{c}{5 (z - 2)} = - 1$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $5 (z - 2)$ .

$\frac{c}{5 (z - 2)} (5 (z - 2)) = - (5 (z - 2))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $\frac{c}{5 (z - 2)} (5 (z - 2))$ .

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \frac{c}{5 (z - 2)} (z - 2) = - (5 (z - 2))$

Étape 4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{c}{5 (z - 2)} (z - 2) = - (5 (z - 2))$

Étape 4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{c}{z - 2} (z - 2) = - (5 (z - 2))$

Étape 4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $z - 2$ .

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Étape 4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{c}{z - 2} (z - 2) = - (5 (z - 2))$

Étape 4.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$c = - (5 (z - 2))$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- (5 (z - 2))$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$c = - (5 z + 5 \cdot - 2)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$c = - (5 z - 10)$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$c = - (5 z) - - 10$

Étape 4.2.1.4

Multipliez.

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Étape 4.2.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$c = - 5 z - - 10$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$c = - 5 z + 10$