Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$ comme une équation.

$y = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)) = 3 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y))$ .

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Étape 3.3.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\log_{4} (y)$ .

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{4} (y) = 3 x$

Étape 3.4

Réécrivez $\log_{4} (y) = 3 x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{3 x} = y$

Étape 3.5

Réécrivez l’équation comme $y = 4^{3 x}$ .

$y = 4^{3 x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))}$

Étape 5.2.3

Simplifiez $\frac{1}{3} \log_{4} (x)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Étape 5.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 5.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (4^{3 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (4^{3 x})$

Étape 5.3.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $3 x$ de l’exposant.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \log_{4} (4))$

Étape 5.3.4

La base logarithmique $4$ de $4$ est $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \cdot 1)$

Étape 5.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (4^{3 x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$