Algèbre Exemples

$f (x) = - \frac{1}{2} (x - 2) {(x + 1)}^{2} (x - 1)$

Étape 1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2) {(x + 1)}^{2} (x - 1)$

Étape 1.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2) {(x + 1)}^{2} (x - 1)$

Étape 1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$(- \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2) {(x + 1)}^{2} (x - 1)$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$(- \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))) {(x + 1)}^{2} (x - 1)$

Étape 1.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$(- \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)) {(x + 1)}^{2} (x - 1)$

Étape 1.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$(- \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1) {(x + 1)}^{2} (x - 1)$

Étape 1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(- \frac{x}{2} + 1) {(x + 1)}^{2} (x - 1)$

Étape 1.1.4.2

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$(- \frac{x}{2} + 1) ((x + 1) (x + 1)) (x - 1)$

Étape 1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- \frac{x}{2} + 1) (x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- \frac{x}{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- \frac{x}{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(- \frac{x}{2} + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(- \frac{x}{2} + 1) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$(- \frac{x}{2} + 1) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$(- \frac{x}{2} + 1) (x^{2} + x + x + 1) (x - 1)$

Étape 1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$(- \frac{x}{2} + 1) (x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)$

Étape 1.4

Développez $(- \frac{x}{2} + 1) (x^{2} + 2 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(- \frac{x}{2} x^{2} - \frac{x}{2} (2 x) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $- \frac{x}{2} x^{2}$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{x}{2}$ .

$(- \frac{x^{2} x}{2} - \frac{x}{2} (2 x) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.5.1.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{x^{2} x^{1}}{2} - \frac{x}{2} (2 x) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- \frac{x^{2 + 1}}{2} - \frac{x}{2} (2 x) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - \frac{x}{2} (2 x) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$(- \frac{x^{3}}{2} + \frac{- x}{2} (2 x) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} + \frac{- x}{2} (2 (x)) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$(- \frac{x^{3}}{2} + \frac{- x}{2} (2 x) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$(- \frac{x^{3}}{2} - x \cdot x - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - (x^{1} x) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - (x^{1} x^{1}) - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- \frac{x^{3}}{2} - x^{1 + 1} - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - x^{2} - \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - x^{2} - \frac{x}{2} + 1 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - x^{2} - \frac{x}{2} + x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.9

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - x^{2} - \frac{x}{2} + x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 1.5.1.10

Multipliez $1$ par $1$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - x^{2} - \frac{x}{2} + x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)$

Étape 1.5.2

Associez les termes opposés dans $- \frac{x^{3}}{2} - x^{2} - \frac{x}{2} + x^{2} + 2 x + 1$ .

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - \frac{x}{2} + 0 + 2 x + 1) (x - 1)$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $- \frac{x^{3}}{2} - \frac{x}{2}$ et $0$ .

$(- \frac{x^{3}}{2} - \frac{x}{2} + 2 x + 1) (x - 1)$

Étape 1.6

Développez $(- \frac{x^{3}}{2} - \frac{x}{2} + 2 x + 1) (x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- \frac{x^{3}}{2} x - \frac{x^{3}}{2} \cdot - 1 - \frac{x}{2} x - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $- \frac{x^{3}}{2} x$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Associez $x$ et $\frac{x^{3}}{2}$ .

$- \frac{x \cdot x^{3}}{2} - \frac{x^{3}}{2} \cdot - 1 - \frac{x}{2} x - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.7.1.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{3}}{2} - \frac{x^{3}}{2} \cdot - 1 - \frac{x}{2} x - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{1 + 3}}{2} - \frac{x^{3}}{2} \cdot - 1 - \frac{x}{2} x - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.1.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{2} \cdot - 1 - \frac{x}{2} x - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- \frac{x^{3}}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 1.7.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 1 \frac{x^{3}}{2} - \frac{x}{2} x - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.2.2

Multipliez $\frac{x^{3}}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x}{2} x - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $- \frac{x}{2} x$ .

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Étape 1.7.1.3.1

Associez $x$ et $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x \cdot x}{2} - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{1} x}{2} - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{1} x^{1}}{2} - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{1 + 1}}{2} - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $- \frac{x}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 1.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 1 \frac{x}{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.4.2

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.5.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 2 x^{2} - 2 x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 2 x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 2 x^{2} - 2 x + x - 1$

Étape 1.7.2

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 2 x^{2} - x - 1$

Étape 2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$4$