Algèbre Exemples

$y = \frac{\log (x)}{4 + \log (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\log (x)}{4 + \log (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = 4 + \log (x)$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.2

La dérivée de $\log (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + \log (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.4

La dérivée de $\log (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.5

Associez $\frac{1}{x \ln (10)}$ et $\log (x)$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.6

Pour écrire $(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.7

Associez $(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ et $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.9

Associez $x$ et $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.10

Associez $\ln (10)$ et $\frac{x}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $\ln (10)$ .

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Étape 3.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.12

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.13

Multipliez $4 + \log (x)$ par $1$ .

$\frac{\frac{4 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.14

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.15

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.16

Réécrivez $\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ comme un produit.

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.17

Multipliez $\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}$ par $\frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.18

Simplifiez

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Étape 3.18.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.18.1.1

La base logarithmique $10$ de $1$ est $0$ .

$\frac{4 + 0}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.18.1.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.18.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

Étape 3.18.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ .

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$