Algèbre Exemples

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} \leq \frac{6}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Résolvez $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $x^{2} - 3 x + 2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 3 x + 2$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Étape 1.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez $\frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.2.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 = \frac{6}{x^{2} - 2^{2}} (x^{2} - 3 x + 2)$

Étape 1.2.2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$2 = \frac{6}{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 3 x + 2)$

Étape 1.2.2.1.2

Multipliez $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ par $x^{2} - 3 x + 2$ .

$2 = \frac{6 (x^{2} - 3 x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 1.2.2.1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 = \frac{6 ((x - 2) (x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 1.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 = \frac{6 (x - 1)}{x + 2}$

Étape 1.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$

Étape 1.3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + 2, 1$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$x + 2, 1$

Étape 1.3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + 2$

Étape 1.3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ par $x + 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ par $x + 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Étape 1.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 (x - 1) = 2 (x + 2)$

Étape 1.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x + 6 \cdot - 1 = 2 (x + 2)$

Étape 1.3.3.2.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$6 x - 6 = 2 (x + 2)$

Étape 1.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x - 6 = 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 x - 6 = 2 x + 4$

Étape 1.3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.3.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.4.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$6 x - 6 - 2 x = 4$

Étape 1.3.4.1.2

Soustrayez $2 x$ de $6 x$ .

$4 x - 6 = 4$

Étape 1.3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.4.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 4 + 6$

Étape 1.3.4.2.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$4 x = 10$

Étape 1.3.4.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 10$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 10$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Étape 1.3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Étape 1.3.4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{4}$

Étape 1.3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.3.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 1.3.4.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = \frac{2 (5)}{4}$

Étape 1.3.4.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.4.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.4.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.4.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{2}$

Étape 1.4

Déterminez le domaine de $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ .

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Étape 1.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 1.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.4.2.2

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.4.2.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.4.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.4.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$

Étape 1.4.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 1.4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.4.4.2

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.4.4.2.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.4.4.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.4.4.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.4.4.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.4.4.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.4.4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 1.4.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 1.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Étape 1.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 1.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 2} \leq \frac{6}{{(- 4)}^{2} - 4}$

Étape 1.6.1.3

Le côté gauche $0.0\overline{6}$ est inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2} \leq \frac{6}{{(0)}^{2} - 4}$

Étape 1.6.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $- 1.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 1.6.3.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{{(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2} \leq \frac{6}{{(1.5)}^{2} - 4}$

Étape 1.6.3.3

Le côté gauche $- 8$ est inférieur au côté droit $- 3.\overline{428571}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.25$

Étape 1.6.4.2

Remplacez $x$ par $2.25$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{{(2.25)}^{2} - 3 \cdot 2.25 + 2} \leq \frac{6}{{(2.25)}^{2} - 4}$

Étape 1.6.4.3

Le côté gauche $6.4$ est supérieur au côté droit $5.64705882$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 1.6.5.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 + 2} \leq \frac{6}{{(5)}^{2} - 4}$

Étape 1.6.5.3

Le côté gauche $0.1\overline{6}$ est inférieur au côté droit $0.\overline{285714}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.6.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Vrai

$2 < x < \frac{5}{2}$ Faux

$x > \frac{5}{2}$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Vrai

$2 < x < \frac{5}{2}$ Faux

$x > \frac{5}{2}$ Vrai

Étape 1.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $1 < x < 2$ ou $x \geq \frac{5}{2}$

Étape 2

Utilisez l’inégalité $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ pour créer la notation de l’ensemble.

${x | x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}}$

Étape 3