Algèbre Exemples

$t^{4} \ln (t)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = \ln (t)$ .

$f' (t) = t^{4} \frac{d}{d t} (\ln (t)) + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$f' (t) = t^{4} (\frac{1}{t}) + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Associez $t^{4}$ et $\frac{1}{t}$ .

$f' (t) = \frac{t^{4}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $t^{4}$ et $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{4}$ .

$f' (t) = \frac{t \cdot t^{3}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f' (t) = \frac{t \cdot t^{3}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Étape 1.3.2.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$f' (t) = \frac{t \cdot t^{3}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Étape 1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$f' (t) = \frac{t \cdot t^{3}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Étape 1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$f' (t) = \frac{t^{3}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Étape 1.3.2.2.5

Divisez $t^{3}$ par $1$ .

$f' (t) = t^{3} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (t) = t^{3} + \ln (t) (4 t^{3})$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (t) = t^{3} + 4 t^{3} \ln (t)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} + 4 t^{3} \ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [4 t^{3} \ln (t)]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (4 t^{3} \ln (t))$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (4 t^{3} \ln (t))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [4 t^{3} \ln (t)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t^{3} \ln (t)$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t^{3} \ln (t)]$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 \frac{d}{d t} (t^{3} \ln (t))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = \ln (t)$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (t^{3} \frac{d}{d t} (\ln (t)) + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{3}))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (t^{3} (\frac{1}{t}) + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{3}))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (t^{3} (\frac{1}{t}) + \ln (t) (3 t^{2}))$

Étape 2.2.5

Associez $t^{3}$ et $\frac{1}{t}$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t^{3}}{t} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $t^{3}$ et $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3}$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t \cdot t^{2}}{t} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t \cdot t^{2}}{t} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Étape 2.2.6.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Étape 2.2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Étape 2.2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t^{2}}{1} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Étape 2.2.6.2.5

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (t^{2} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 t^{2} + 4 (\ln (t) (3 t^{2}))$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 t^{2} + 12 (\ln (t) (t^{2}))$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $3 t^{2}$ et $4 t^{2}$ .

$f'' (t) = 7 t^{2} + 12 \ln (t) t^{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (t) = 7 t^{2} + 12 t^{2} \ln (t)$