Algèbre Exemples

${(1 - 2 x)}^{n}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{n}$ et $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{n}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = n$ .

$f' (x) = n u^{n - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \cdot - 2$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$ .

$f' (x) = - 2 n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 2 n$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$ par rapport à $x$ est $- 2 n \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 1}]$ .

$f'' (x) = - 2 n \frac{d}{d x} {(1 - 2 x)}^{n - 1}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{n - 1}$ et $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 n (\frac{d}{d u} (u^{n - 1}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = n - 1$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) u^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Étape 2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Étape 2.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Étape 2.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (\frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \cdot 1)$

Étape 2.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.8.1

Multipliez $n - 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2})$

Étape 2.3.8.2

Réorganisez les facteurs de $4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2})$ .

$f'' (x) = 4 n {(1 - 2 x)}^{n - 2} (n - 1)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $4 n (n - 1)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 n {(1 - 2 x)}^{n - 2} (n - 1)$ par rapport à $x$ est $4 n (n - 1) \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 2}]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) \frac{d}{d x} ({(1 - 2 x)}^{n - 2})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{n - 2}$ et $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) (\frac{d}{d u} (u^{n - 2}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = n - 2$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) u^{n - 2 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 2 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Étape 3.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Étape 3.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (\frac{d}{d x} (x)))$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \cdot 1)$

Étape 3.3.8

Multipliez $n - 2$ par $1$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = (- 8 n \cdot n - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = (- 8 (n \cdot n) - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Étape 3.4.2.2

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = (- 8 (n \cdot n) - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Étape 3.4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = (- 8 n^{1 + 1} - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Étape 3.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f''' (x) = (- 8 n^{2} - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f''' (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3}$

Étape 3.4.3

Réorganisez les facteurs de $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3}$ .

$f''' (x) = {(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de ${(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$ par rapport à $x$ est $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 3}]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) \frac{d}{d x} ({(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{n - 3}$ et $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) (\frac{d}{d u} (u^{n - 3}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = n - 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) u^{n - 3 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 3 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Étape 4.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Étape 4.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 \cdot 1))$

Étape 4.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.7.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \cdot - 2)$

Étape 4.3.7.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $(n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4}$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) (- 2 \cdot ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4}))$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n - 2 \cdot - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n + 6) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$

Étape 4.4.3

Réorganisez les facteurs de $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n + 6) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$ .

$f^{4} (x) = {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 n + 6) (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$