Algèbre Exemples

$\frac{3}{6 x + 13} - \frac{1}{x} = \frac{1}{13 x - 9}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{13 x - 9}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3}{6 x + 13} - \frac{1}{x} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{3}{6 x + 13} - \frac{1}{x} - \frac{1}{13 x - 9}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{3}{6 x + 13}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{6 x + 13} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 x + 13}{6 x + 13}$ .

$\frac{3}{6 x + 13} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{6 x + 13}{6 x + 13} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(6 x + 13) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{3}{6 x + 13}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(6 x + 13) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{6 x + 13}{6 x + 13} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{6 x + 13}{6 x + 13}$ .

$\frac{3 x}{(6 x + 13) x} - \frac{6 x + 13}{x (6 x + 13)} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(6 x + 13) x$ .

$\frac{3 x}{x (6 x + 13)} - \frac{6 x + 13}{x (6 x + 13)} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x - (6 x + 13)}{x (6 x + 13)} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x - (6 x) - 1 \cdot 13}{x (6 x + 13)} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{3 x - 6 x - 1 \cdot 13}{x (6 x + 13)} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 1$ par $13$ .

$\frac{3 x - 6 x - 13}{x (6 x + 13)} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.5.4

Soustrayez $6 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 3 x - 13}{x (6 x + 13)} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $\frac{- 3 x - 13}{x (6 x + 13)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13 x - 9}{13 x - 9}$ .

$\frac{- 3 x - 13}{x (6 x + 13)} \cdot \frac{13 x - 9}{13 x - 9} - \frac{1}{13 x - 9} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $- \frac{1}{13 x - 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x (6 x + 13)}{x (6 x + 13)}$ .

$\frac{- 3 x - 13}{x (6 x + 13)} \cdot \frac{13 x - 9}{13 x - 9} - \frac{1}{13 x - 9} \cdot \frac{x (6 x + 13)}{x (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (6 x + 13) (13 x - 9)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $\frac{- 3 x - 13}{x (6 x + 13)}$ par $\frac{13 x - 9}{13 x - 9}$ .

$\frac{(- 3 x - 13) (13 x - 9)}{x (6 x + 13) (13 x - 9)} - \frac{1}{13 x - 9} \cdot \frac{x (6 x + 13)}{x (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.8.2

Multipliez $\frac{1}{13 x - 9}$ par $\frac{x (6 x + 13)}{x (6 x + 13)}$ .

$\frac{(- 3 x - 13) (13 x - 9)}{x (6 x + 13) (13 x - 9)} - \frac{x (6 x + 13)}{(13 x - 9) (x (6 x + 13))} = 0$

Étape 2.8.3

Réorganisez les facteurs de $x (6 x + 13) (13 x - 9)$ .

$\frac{(- 3 x - 13) (13 x - 9)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} - \frac{x (6 x + 13)}{(13 x - 9) (x (6 x + 13))} = 0$

Étape 2.8.4

Réorganisez les facteurs de $(13 x - 9) (x (6 x + 13))$ .

$\frac{(- 3 x - 13) (13 x - 9)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} - \frac{x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- 3 x - 13) (13 x - 9) - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Développez $(- 3 x - 13) (13 x - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x (13 x - 9) - 13 (13 x - 9) - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x (13 x) - 3 x \cdot - 9 - 13 (13 x - 9) - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x (13 x) - 3 x \cdot - 9 - 13 (13 x) - 13 \cdot - 9 - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 3 \cdot 13 x \cdot x - 3 x \cdot - 9 - 13 (13 x) - 13 \cdot - 9 - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 13 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 9 - 13 (13 x) - 13 \cdot - 9 - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 13 x^{2} - 3 x \cdot - 9 - 13 (13 x) - 13 \cdot - 9 - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $13$ .

$\frac{- 39 x^{2} - 3 x \cdot - 9 - 13 (13 x) - 13 \cdot - 9 - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $- 3$ .

$\frac{- 39 x^{2} + 27 x - 13 (13 x) - 13 \cdot - 9 - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.2.1.5

Multipliez $13$ par $- 13$ .

$\frac{- 39 x^{2} + 27 x - 169 x - 13 \cdot - 9 - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.2.1.6

Multipliez $- 13$ par $- 9$ .

$\frac{- 39 x^{2} + 27 x - 169 x + 117 - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.2.2

Soustrayez $169 x$ de $27 x$ .

$\frac{- 39 x^{2} - 142 x + 117 - x (6 x + 13)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 39 x^{2} - 142 x + 117 - x (6 x) - x \cdot 13}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 39 x^{2} - 142 x + 117 - 1 \cdot 6 x \cdot x - x \cdot 13}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.5

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$\frac{- 39 x^{2} - 142 x + 117 - 1 \cdot 6 x \cdot x - 13 x}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.6.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 39 x^{2} - 142 x + 117 - 1 \cdot 6 (x \cdot x) - 13 x}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 39 x^{2} - 142 x + 117 - 1 \cdot 6 x^{2} - 13 x}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.6.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{- 39 x^{2} - 142 x + 117 - 6 x^{2} - 13 x}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.7

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 39 x^{2}$ .

$\frac{- 45 x^{2} - 142 x + 117 - 13 x}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.10.8

Soustrayez $13 x$ de $- 142 x$ .

$\frac{- 45 x^{2} - 155 x + 117}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 45 x^{2}$ .

$\frac{- (45 x^{2}) - 155 x + 117}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 155 x$ .

$\frac{- (45 x^{2}) - (155 x) + 117}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (45 x^{2}) - (155 x)$ .

$\frac{- (45 x^{2} + 155 x) + 117}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.14

Réécrivez $117$ comme $- 1 (- 117)$ .

$\frac{- (45 x^{2} + 155 x) - 1 (- 117)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (45 x^{2} + 155 x) - 1 (- 117)$ .

$\frac{- (45 x^{2} + 155 x - 117)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.16

Réécrivez $- (45 x^{2} + 155 x - 117)$ comme $- 1 (45 x^{2} + 155 x - 117)$ .

$\frac{- 1 (45 x^{2} + 155 x - 117)}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45 x^{2} + 155 x - 117}{x (13 x - 9) (6 x + 13)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{45 x^{2} + 155 x - 117}{x (13 x - 9) (6 x + 13)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (13 x - 9) (6 x + 13) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$13 x - 9 = 0$

$6 x + 13 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.3

Définissez $13 x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $13 x - 9$ égal à $0$ .

$13 x - 9 = 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $13 x - 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$13 x = 9$

Étape 4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $13 x = 9$ par $13$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $13 x = 9$ par $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{9}{13}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 x}{13} = \frac{9}{13}$

Étape 4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{9}{13}$

Étape 4.4

Définissez $6 x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $6 x + 13$ égal à $0$ .

$6 x + 13 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $6 x + 13 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$6 x = - 13$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $6 x = - 13$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = - 13$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 13}{6}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 13}{6}$

Étape 4.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 13}{6}$

Étape 4.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{13}{6}$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (13 x - 9) (6 x + 13) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{9}{13}, - \frac{13}{6}$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - \frac{13}{6}, x = 0, x = \frac{9}{13}$

Étape 6