Algèbre Exemples

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 (x + k) (x - k) (3 x + 2)$

Étape 1

Simplifiez $2 (x + k) (x - k) (3 x + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 0 + 0 + 2 (x + k) (x - k) (3 x + 2)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x + 2 k) (x - k) (3 x + 2)$

Étape 1.3

Développez $(2 x + 2 k) (x - k)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x (x - k) + 2 k (x - k)) (3 x + 2)$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x \cdot x + 2 x (- k) + 2 k (x - k)) (3 x + 2)$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x \cdot x + 2 x (- k) + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 (x \cdot x) + 2 x (- k) + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Étape 1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} + 2 x (- k) + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Étape 1.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x k + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Étape 1.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 \cdot - 1 k \cdot k) (3 x + 2)$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.5.1

Déplacez $k$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 \cdot - 1 (k \cdot k)) (3 x + 2)$

Étape 1.4.1.5.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 \cdot - 1 k^{2}) (3 x + 2)$

Étape 1.4.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 2 x k$ et $2 k x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Déplacez $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 k x + 2 k x - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $- 2 k x$ et $2 k x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} + 0 - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Étape 1.4.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Étape 1.5

Développez $(2 x^{2} - 2 k^{2}) (3 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 x^{2} (3 x + 2) - 2 k^{2} (3 x + 2)$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 x^{2} (3 x) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x + 2)$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 x^{2} (3 x) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 2 \cdot 3 k^{2} x - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6.6

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 k^{2} x - 2 k^{2} \cdot 2$

Étape 1.6.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 k^{2} x - 4 k^{2}$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Soustrayez $6 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} = 4 x^{2} - 6 k^{2} x - 4 k^{2}$

Étape 2.2

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} - 4 x^{2} = - 6 k^{2} x - 4 k^{2}$

Étape 2.3

Ajoutez $6 k^{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} - 4 x^{2} + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Étape 2.4

Associez les termes opposés dans $6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} - 4 x^{2} + 6 k^{2} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Soustrayez $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$4 x^{2} - 6 x - 4 + 0 - 4 x^{2} + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Étape 2.4.2

Additionnez $4 x^{2} - 6 x - 4$ et $0$ .

$4 x^{2} - 6 x - 4 - 4 x^{2} + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Étape 2.4.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$- 6 x - 4 + 0 + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Étape 2.4.4

Additionnez $- 6 x - 4$ et $0$ .

$- 6 x - 4 + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Étape 3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 x + 6 k^{2} x = - 4 k^{2} + 4$

Étape 4

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x + 6 k^{2} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x$ .

$6 x (- 1) + 6 k^{2} x = - 4 k^{2} + 4$

Étape 4.2

Factorisez $6 x$ à partir de $6 k^{2} x$ .

$6 x (- 1) + 6 x (k^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Étape 4.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (- 1) + 6 x (k^{2})$ .

$6 x (- 1 + k^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$6 x (- 1^{2} + k^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Étape 6

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et $k^{2}$ .

$6 x (k^{2} - 1^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Étape 7

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = k$ et $b = 1$ .

$6 x ((k + 1) (k - 1)) = - 4 k^{2} + 4$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 x (k + 1) (k - 1) = - 4 k^{2} + 4$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $6 x (k + 1) (k - 1) = - 4 k^{2} + 4$ par $6 (k + 1) (k - 1)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $6 x (k + 1) (k - 1) = - 4 k^{2} + 4$ par $6 (k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{6 x (k + 1) (k - 1)}{6 (k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x (k + 1) (k - 1)}{6 (k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x (k + 1)) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun de $k + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x) (k - 1)}{k - 1} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de $k - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (k - 1)}{k - 1} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.2.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 k^{2}$ .

$x = \frac{2 (- 2 k^{2})}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (k + 1) (k - 1)$ .

$x = \frac{2 (- 2 k^{2})}{2 (3 (k + 1) (k - 1))} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (- 2 k^{2})}{2 (3 (k + 1) (k - 1))} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{(2) k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.3.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2 (2)}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 8.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (k + 1) (k - 1)$ .

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2 (2)}{2 (3 (k + 1) (k - 1))}$

Étape 8.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2 \cdot 2}{2 (3 (k + 1) (k - 1))}$

Étape 8.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2}{3 (k + 1) (k - 1)}$

Étape 9

Pour réécrire comme une fonction de $k$ , écrivez l’équation de sorte que $x$ figure seul d’un côté du signe égal et qu’une expression avec uniquement $k$ figure de l’autre côté.

$f (k) = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2}{3 (k + 1) (k - 1)}$