Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{y (z + 5)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (z + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $y (z + 5)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y (z + 5)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(y z + y \cdot 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y z + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

$\frac{y z + 5 \cdot y \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{y z + 5 y - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- x \cdot 0$ .

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Étape 3.6.1.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 x - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.1.4.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 1 \cdot 3 \cdot 0$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Associez les termes opposés dans $y z + 5 y + 0 + 0$ .

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Étape 3.6.2.1

Additionnez $y z + 5 y$ et $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $y z + 5 y$ et $0$ .

$\frac{y z + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $y$ à partir de $y z + 5 y$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $y$ à partir de $y z$ .

$\frac{y (z) + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Factorisez $y$ à partir de $5 y$ .

$\frac{y (z) + y \cdot 5}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.7.3

Factorisez $y$ à partir de $y (z) + y \cdot 5$ .

$\frac{y (z + 5)}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{z + 5}{y {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.9

Annulez le facteur commun à $z + 5$ et ${(z + 5)}^{2}$ .

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Étape 3.9.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{y {(z + 5)}^{2}}$

Étape 3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.1

Factorisez $z + 5$ à partir de $y {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Étape 3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Étape 3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y (z + 5)}$