Algèbre Exemples

$x^{4} - 13 x^{2} + 36$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 13 {(2)}^{2} + 36$

Étape 4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 13 \cdot 4 + 36$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 13$ par $4$ .

$16 - 52 + 36$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $52$ de $16$ .

$- 36 + 36$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 36$ et $36$ .

$0$

Étape 5

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 13 x^{2} + 36}{x - 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$	$2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 13)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$- 9$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 9)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 18)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 36)$ sous le terme suivant dans le dividende $(36)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 9) x - 18$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 2) + x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

$(x - 2) x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 9)$

Étape 9

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 3^{2})$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x - 2) + (x + 2) ((x + 3) (x - 3))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) + (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 2) (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

Étape 11

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 12

Factorisez $u^{2} - 13 u + 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 12.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $36$ et dont la somme est $- 13$ .

$- 9, - 4$

Étape 12.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

Étape 13

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Étape 14

Définissez $u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 14.1

Définissez $u - 9$ égal à $0$ .

$u - 9 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 9$

Étape 15

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 15.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 15.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 16

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 9) (u - 4) = 0$ vraie.

$u = 9, 4$

Étape 17

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 18

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 9$

Étape 19

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 19.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 19.2

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 19.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 19.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 19.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 19.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 19.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 19.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 20

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 21

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 21.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 4$

Étape 21.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 21.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 21.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 21.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 21.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 21.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 21.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 21.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 22

La solution à $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ est $x = 3, - 3, 2, - 2$ .

$x = 3, - 3, 2, - 2$

Étape 23