Algèbre Exemples

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$

Étape 1

Écrivez $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 24 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 8 = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 8 = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 2 = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 2 = 0$

Étape 6.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 2$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 2) = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 6.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 6.2.2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 2$

Étape 6.2.2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 2$

Étape 6.2.2.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Étape 6.2.2.1.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3 + 2$

Étape 6.2.2.1.3.5

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 2$

Étape 6.2.2.1.3.6

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 6.2.2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2}{x - 1}$

Étape 6.2.2.1.5

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ par $x - 1$ .

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Étape 6.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Étape 6.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Étape 6.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 6.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 6.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 6.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 6.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 6.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 6.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 6.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$

Étape 6.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Étape 6.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Étape 6.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Étape 6.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 6.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Étape 6.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x - 2$

Étape 6.2.2.1.6

Écrivez $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 x - 2)) = 0$

Étape 6.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.5

Définissez $x^{2} - 2 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x^{2} - 2 x - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez

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Étape 6.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 6.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Étape 6.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 6.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Étape 6.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Étape 6.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 6.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Étape 6.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Étape 6.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$ vraie.

$x = 1, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Étape 10.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 - 24 \cdot 1$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$12 - 24$

Étape 10.2

Soustrayez $24$ de $12$ .

$- 12$

Étape 11

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 4 {(1)}^{3} + 8 (1)$

Étape 12.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 8 (1)$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 8 (1)$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 8$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.2.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f (1) = - 3 + 8$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $- 3$ et $8$ .

$f (1) = 5$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1 + \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(1 + \sqrt{3})}^{2} - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$12 ((1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.2

Développez $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 14.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 14.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$12 (1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.3.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.3.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$12 (4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.3.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$12 (4 + 2 \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$12 \cdot 4 + 12 (2 \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.5

Multipliez $12$ par $4$ .

$48 + 12 (2 \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.6

Multipliez $2$ par $12$ .

$48 + 24 \sqrt{3} - 24 (1 + \sqrt{3})$

Étape 14.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$48 + 24 \sqrt{3} - 24 \cdot 1 - 24 \sqrt{3}$

Étape 14.1.8

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$48 + 24 \sqrt{3} - 24 - 24 \sqrt{3}$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 14.2.1

Soustrayez $24$ de $48$ .

$24 + 24 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}$

Étape 14.2.2

Soustrayez $24 \sqrt{3}$ de $24 \sqrt{3}$ .

$24 + 0$

Étape 14.2.3

Additionnez $24$ et $0$ .

$24$

Étape 15

$x = 1 + \sqrt{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1 + \sqrt{3}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 1 + \sqrt{3}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $1 + \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (1 + \sqrt{3}) = {(1 + \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \cdot (1 \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 16.2.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.7

Multipliez $6$ par $3$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.11

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 16.2.1.2.11.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.11.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.13

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.14

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 16.2.1.2.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.14.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 16.2.1.2.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.14.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1.2.14.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.14.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{2} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.2.15

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9 - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.3

Additionnez $1$ et $18$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 19 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} + 9 - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.4

Additionnez $19$ et $9$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.5

Additionnez $4 \sqrt{3}$ et $12 \sqrt{3}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.6

Utilisez le théorème du binôme.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.7.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{3}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 16.2.1.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + \sqrt{3^{3}}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + \sqrt{27}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.9

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 16.2.1.7.9.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + \sqrt{9 (3)}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.9.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.7.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + 3 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.8

Additionnez $1$ et $9$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (10 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.9

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (10 + 6 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 \cdot 10 - 4 (6 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.11

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 40 - 4 (6 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.12

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 40 - 24 \sqrt{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Étape 16.2.1.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 40 - 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 1 + 8 \sqrt{3}$

Étape 16.2.1.14

Multipliez $8$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 40 - 24 \sqrt{3} + 8 + 8 \sqrt{3}$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 16.2.2.1

Soustrayez $40$ de $28$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 12 + 16 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 8 + 8 \sqrt{3}$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $- 12$ et $8$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 4 + 16 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}$

Étape 16.2.2.3

Soustrayez $24 \sqrt{3}$ de $16 \sqrt{3}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 4 - 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}$

Étape 16.2.2.4

Additionnez $- 8 \sqrt{3}$ et $8 \sqrt{3}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 4 + 0$

Étape 16.2.2.5

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 4$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1 - \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(1 - \sqrt{3})}^{2} - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Réécrivez ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$12 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.2

Développez $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 18.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 18.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$12 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.2

Multipliez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 18.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 18.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$12 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.3.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$12 (4 - 2 \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$12 \cdot 4 + 12 (- 2 \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.5

Multipliez $12$ par $4$ .

$48 + 12 (- 2 \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.6

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$48 - 24 \sqrt{3} - 24 (1 - \sqrt{3})$

Étape 18.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$48 - 24 \sqrt{3} - 24 \cdot 1 - 24 (- \sqrt{3})$

Étape 18.1.8

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$48 - 24 \sqrt{3} - 24 - 24 (- \sqrt{3})$

Étape 18.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$48 - 24 \sqrt{3} - 24 + 24 \sqrt{3}$

Étape 18.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 18.2.1

Soustrayez $24$ de $48$ .

$24 - 24 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}$

Étape 18.2.2

Additionnez $- 24 \sqrt{3}$ et $24 \sqrt{3}$ .

$24 + 0$

Étape 18.2.3

Additionnez $24$ et $0$ .

$24$

Étape 19

$x = 1 - \sqrt{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1 - \sqrt{3}$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = 1 - \sqrt{3}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $1 - \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (1 - \sqrt{3}) = {(1 - \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 + 4 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 20.2.1.2.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.2.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.11

Multipliez $6$ par $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.13

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.15

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.16

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.17

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 20.2.1.2.17.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.17.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.18

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.19

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.20

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.21

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.22

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.23

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.24

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 20.2.1.2.24.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.24.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.24.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.24.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 20.2.1.2.24.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.24.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.2.1.2.24.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.24.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.24.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.24.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{2} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.2.25

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 9 - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.3

Additionnez $1$ et $18$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 19 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 9 - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.4

Additionnez $19$ et $9$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.5

Soustrayez $12 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.6

Utilisez le théorème du binôme.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.7.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.8

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 20.2.1.7.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.7.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.13

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - \sqrt{3^{3}}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.14

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - \sqrt{27}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.15

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 20.2.1.7.15.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - \sqrt{9 (3)}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.15.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - (3 \sqrt{3})) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.7.17

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - 3 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.8

Additionnez $1$ et $9$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (10 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.9

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (10 - 6 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 \cdot 10 - 4 (- 6 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.11

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 - 4 (- 6 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.12

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 + 24 \sqrt{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 + 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 1 + 8 (- \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.14

Multipliez $8$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 + 24 \sqrt{3} + 8 + 8 (- \sqrt{3})$

Étape 20.2.1.15

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 + 24 \sqrt{3} + 8 - 8 \sqrt{3}$

Étape 20.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 20.2.2.1

Soustrayez $40$ de $28$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 12 - 16 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 8 - 8 \sqrt{3}$

Étape 20.2.2.2

Additionnez $- 12$ et $8$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 4 - 16 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}$

Étape 20.2.2.3

Additionnez $- 16 \sqrt{3}$ et $24 \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 4 + 8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}$

Étape 20.2.2.4

Soustrayez $8 \sqrt{3}$ de $8 \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 4 + 0$

Étape 20.2.2.5

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 4$

Étape 20.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ .

$(1, 5)$ est un maximum local

$(1 + \sqrt{3}, - 4)$ est un minimum local

$(1 - \sqrt{3}, - 4)$ est un minimum local

Étape 22