Algèbre Exemples

$\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{9} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Étape 2.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{4}{9}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{4}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{9} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

Étape 2.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Étape 2.3.6

Associez $\frac{- 12}{9}$ et $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Étape 2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $9$ .

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Étape 2.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Étape 2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Étape 2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Étape 2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{9}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{4}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{3}}{9}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.2.3

Associez $3$ et $\frac{4}{9}$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 4}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.2.5

Associez $\frac{12}{9}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (3)} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 x^{2}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot (2 x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - 2 (\frac{4}{3}) \cdot x$

Étape 3.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{4}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} x$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8}{3} x$

Étape 3.3.6

Associez $\frac{- 8}{3}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8 x}{3}$

Étape 3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{9} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{9} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{9} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Étape 5.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{9}$ .

$f' (x) = \frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Étape 5.1.2.4

Associez $\frac{4}{9}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- \frac{4}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{9} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \cdot (3 x^{2})$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) \cdot x^{2}$

Étape 5.1.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{4}{9}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Étape 5.1.3.6

Associez $\frac{- 12}{9}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Étape 5.1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $9$ .

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Étape 5.1.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Étape 5.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Étape 5.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Étape 5.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Étape 5.1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Étape 6.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ par $9$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ par $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Étape 6.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{3} - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 x^{2}}{3}$ dans le numérateur.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Étape 6.2.2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 (3)) = 0 \cdot 9$

Étape 6.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 \cdot 3) = 0 \cdot 9$

Étape 6.2.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$4 x^{3} - 4 x^{2} \cdot 3 = 0 \cdot 9$

Étape 6.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0 \cdot 9$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $0$ par $9$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Étape 6.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Étape 6.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 6.5

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x^{2} (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 3$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{3} - \frac{8 (0)}{3}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0}{3}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 8 \cdot 0}{3}$

Étape 10.2.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{3}$

Étape 10.2.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{3}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{3}$

Étape 10.3.2

Divisez $0$ par $3$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Étape 11.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Étape 11.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Étape 11.2.2.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 \cdot 4}{3}$

Étape 11.2.2.1.5

Multipliez $4$ par $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Étape 11.2.2.2

Pour écrire $- \frac{16}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.2.3.1

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 11.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Étape 11.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 16 \cdot 3}{9}$

Étape 11.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.2.5.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 48}{9}$

Étape 11.2.2.5.2

Soustrayez $48$ de $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 80}{9}$

Étape 11.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{80}{9}$

Étape 11.2.2.7

La réponse finale est $- \frac{80}{9}$ .

$- \frac{80}{9}$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.2.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Étape 11.3.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Étape 11.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Étape 11.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Étape 11.3.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.2.1.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2} \cdot 2^{2}}{3}$

Étape 11.3.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2 + 2}}{3}$

Étape 11.3.2.1.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{4}}{3}$

Étape 11.3.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Étape 11.3.2.2

Pour écrire $- \frac{16}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.3.2.3.1

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 11.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Étape 11.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{32 - 16 \cdot 3}{9}$

Étape 11.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.2.5.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$f' (2) = \frac{32 - 48}{9}$

Étape 11.3.2.5.2

Soustrayez $48$ de $32$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{9}$

Étape 11.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (2) = - \frac{16}{9}$

Étape 11.3.2.7

La réponse finale est $- \frac{16}{9}$ .

$- \frac{16}{9}$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = \frac{4 {(6)}^{3}}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 216}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Étape 11.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $216$ .

$f' (6) = \frac{864}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Étape 11.4.2.1.3

Divisez $864$ par $9$ .

$f' (6) = 96 - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Étape 11.4.2.1.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = 96 - \frac{4 \cdot 36}{3}$

Étape 11.4.2.1.5

Multipliez $4$ par $36$ .

$f' (6) = 96 - \frac{144}{3}$

Étape 11.4.2.1.6

Divisez $144$ par $3$ .

$f' (6) = 96 - 1 \cdot 48$

Étape 11.4.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$f' (6) = 96 - 48$

Étape 11.4.2.2

Soustrayez $48$ de $96$ .

$f' (6) = 48$

Étape 11.4.2.3

La réponse finale est $48$ .

$48$

Étape 11.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 3$ , $x = 3$ est un minimum local.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 12