Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}]$ .

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}})$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ comme ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 1})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f' (x) = 24 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 24 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f' (x) = 24 (- {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

Étape 1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$f' (x) = - 24 ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ .

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))$

Étape 1.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))$

Étape 1.1.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ .

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})$

Étape 1.1.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{- 1.3 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{- 1.3 x}]$ .

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $3$ par $- 24$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} e^{- 1.3 x}$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 1.3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 1.3 x$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

Étape 1.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 1.3 x$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

Étape 1.1.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Comme $- 1.3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.3 x$ par rapport à $x$ est $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} (- 1.3 \frac{d}{d x} x))$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $- 1.3$ par $- 72$ .

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} (\frac{d}{d x} (x)))$

Étape 1.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} \cdot 1)$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $e^{- 1.3 x}$ par $1$ .

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} e^{- 1.3 x}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.1

Réorganisez les facteurs de $93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} e^{- 1.3 x}$ .

$f' (x) = 93.6 e^{- 1.3 x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2}$

Étape 1.1.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 93.6 e^{- 1.3 x} (\frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}})$

Étape 1.1.6.3

Multipliez $93.6 e^{- 1.3 x} \frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.3.1

Associez $\frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ et $93.6$ .

$f' (x) = \frac{93.6}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}} \cdot e^{- 1.3 x}$

Étape 1.1.6.3.2

Associez $\frac{93.6}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ et $e^{- 1.3 x}$ .

$f' (x) = \frac{93.6 e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $93.6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{93.6 e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ par rapport à $x$ est $93.6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 93.6 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}})$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{- 1.3 x}$ et $g (x) = {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2})}^{2}})$

Étape 1.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2 \cdot 2}})$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 1.3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Comme $- 1.3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.3 x$ par rapport à $x$ est $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} (- 1.3 \frac{d}{d x} x) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} (- 1.3 \cdot 1) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.3.1

Multipliez $- 1.3$ par $1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} \cdot - 1.3 - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.5.3.2

Déplacez $- 1.3$ à gauche de ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 \cdot ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (2 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.7

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.7.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (0 + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.7.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.7.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{- 1.3 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{- 1.3 x}]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (3 \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.7.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.6.1

Déplacez $3$ à gauche de $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} (3 \cdot (1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.7.6.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 1.3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.8.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x - 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.10

Soustrayez $1.3 x$ de $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.11

Comme $- 1.3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.3 x$ par rapport à $x$ est $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (- 1.3 \frac{d}{d x} x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.12

Multipliez $- 1.3$ par $- 6$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d x} (x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \cdot 1)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.14

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.14.1

Multipliez $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Étape 1.2.14.2

Associez $93.6$ et $\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1 + 7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.1

Réécrivez ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}$ comme $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.2

Développez $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 \cdot 1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 \cdot 1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.3.1.2

Multipliez $3 e^{- 1.3 x}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.3.1.5

Multipliez $e^{- 1.3 x}$ par $e^{- 1.3 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.3.1.5.1

Déplacez $e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 (e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x}))) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 1.3 x - 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.3.1.5.3

Soustrayez $1.3 x$ de $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.3.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 9 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.3.2

Additionnez $3 e^{- 1.3 x}$ et $3 e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 6 e^{- 1.3 x} + 9 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 \cdot 1 - 1.3 (6 e^{- 1.3 x}) - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.5.1

Multipliez $- 1.3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 1.3 (6 e^{- 1.3 x}) - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.5.2

Multipliez $6$ par $- 1.3$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 7.8 e^{- 1.3 x} - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.5.3

Multipliez $9$ par $- 1.3$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 7.8 e^{- 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.7.1

Multipliez $e^{- 1.3 x}$ par $e^{- 1.3 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.7.1.1

Déplacez $e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 (e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x}) - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 1.3 x - 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.7.1.3

Soustrayez $1.3 x$ de $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.7.2

Multipliez $e^{- 2.6 x}$ par $e^{- 1.3 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.7.2.1

Déplacez $e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 (e^{- 1.3 x} e^{- 2.6 x})) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 1.3 x - 2.6 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.7.2.3

Soustrayez $2.6 x$ de $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x}) + 93.6 (- 7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.9.1

Multipliez $- 1.3$ par $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 93.6 (- 7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.9.2

Multipliez $- 7.8$ par $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.9.3

Multipliez $- 11.7$ par $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.10

Multipliez $7.8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.11

Multipliez $7.8$ par $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.12

Multipliez $e^{- 2.6 x}$ par $e^{- 1.3 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.3.1.12.1

Déplacez $e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 (e^{- 1.3 x} e^{- 2.6 x}) \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 1.3 x - 2.6 x} \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.12.3

Soustrayez $2.6 x$ de $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 3.9 x} \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.13

Multipliez $3$ par $7.8$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (23.4 e^{- 3.9 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.1.14

Multipliez $23.4$ par $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.2

Additionnez $- 730.08 e^{- 2.6 x}$ et $730.08 e^{- 2.6 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 0 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.3

Multipliez $0$ par $e^{- 2.6 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 0 - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.4

Additionnez $- 121.68 e^{- 1.3 x}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.3.5

Additionnez $- 1095.12 e^{- 3.9 x}$ et $2190.24 e^{- 3.9 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 1095.12 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Étape 1.2.15.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{1095.12 e^{- 3.9 x} - 121.68 e^{- 1.3 x}}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.15.5

Factorisez $121.68$ à partir de $1095.12 e^{- 3.9 x} - 121.68 e^{- 1.3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.15.5.1

Factorisez $121.68$ à partir de $1095.12 e^{- 3.9 x}$ .

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x}) - 121.68 e^{- 1.3 x}}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.15.5.2

Factorisez $121.68$ à partir de $- 121.68 e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x}) + 121.68 (- e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.15.5.3

Factorisez $121.68$ à partir de $121.68 (9 e^{- 3.9 x}) + 121.68 (- e^{- 1.3 x})$ .

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$ par $121.68$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$ par $121.68$ .

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{121.68} = \frac{0}{121.68}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $121.68$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{121.68} = \frac{0}{121.68}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}$ par $1$ .

$9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x} = \frac{0}{121.68}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $121.68$ .

$9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x} = 0$

Étape 2.3.2

Déplacez $- e^{- 1.3 x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$9 e^{- 3.9 x} = e^{- 1.3 x}$

Étape 2.3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (9 e^{- 3.9 x}) = \ln (e^{- 1.3 x})$

Étape 2.3.4

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Réécrivez $\ln (9 e^{- 3.9 x})$ comme $\ln (9) + \ln (e^{- 3.9 x})$ .

$\ln (9) + \ln (e^{- 3.9 x}) = \ln (e^{- 1.3 x})$

Étape 2.3.4.2

Développez $\ln (e^{- 3.9 x})$ en déplaçant $- 3.9 x$ hors du logarithme.

$\ln (9) - 3.9 x \ln (e) = \ln (e^{- 1.3 x})$

Étape 2.3.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (9) - 3.9 x \cdot 1 = \ln (e^{- 1.3 x})$

Étape 2.3.4.4

Multipliez $- 3.9$ par $1$ .

$\ln (9) - 3.9 x = \ln (e^{- 1.3 x})$

Étape 2.3.5

Développez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Développez $\ln (e^{- 1.3 x})$ en déplaçant $- 1.3 x$ hors du logarithme.

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x \ln (e)$

Étape 2.3.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x \cdot 1$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $- 1.3$ par $1$ .

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x$

Étape 2.3.6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Ajoutez $1.3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (9) - 3.9 x + 1.3 x = 0$

Étape 2.3.6.2

Additionnez $- 3.9 x$ et $1.3 x$ .

$\ln (9) - 2.6 x = 0$

Étape 2.3.7

Soustrayez $\ln (9)$ des deux côtés de l’équation.

$- 2.6 x = - \ln (9)$

Étape 2.3.8

Divisez chaque terme dans $- 2.6 x = - \ln (9)$ par $- 2.6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.8.1

Divisez chaque terme dans $- 2.6 x = - \ln (9)$ par $- 2.6$ .

$\frac{- 2.6 x}{- 2.6} = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.8.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2.6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2.6 x}{- 2.6} = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

Étape 2.3.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

Étape 2.3.8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.8.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{\ln (9)}{2.6}$

Étape 2.3.8.3.2

Remplacez $e$ par une approximation.

$x = \frac{\log_{2.71828182} (9)}{2.6}$

Étape 2.3.8.3.3

La base logarithmique $2.71828182$ de $9$ est approximativement $2.19722457$ .

$x = \frac{2.19722457}{2.6}$

Étape 2.3.8.3.4

Divisez $2.19722457$ par $2.6$ .

$x = 0.84508637$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $0.84508637$ dans $f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0.84508637$ dans l’expression.

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 \cdot 0.84508637}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $- 1.3$ par $0.84508637$ .

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.09861228}}$

Étape 3.1.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 (\frac{1}{e^{1.09861228}})}$

Étape 3.1.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{1}{e^{1.09861228}}$ .

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + \frac{3}{e^{1.09861228}}}$

Étape 3.1.2.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (0.84508637) = \frac{24}{\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228}} + \frac{3}{e^{1.09861228}}}$

Étape 3.1.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (0.84508637) = \frac{24}{\frac{e^{1.09861228} + 3}{e^{1.09861228}}}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (0.84508637) = 24 (\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

Étape 3.1.2.3

Associez $24$ et $\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$ .

$f (0.84508637) = \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est $\frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$ .

$\frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0.84508637$ dans $f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ est $(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0.84508637) \cup (0.84508637, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0.84508637)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.74508637$ dans l’expression.

$f'' (0.74508637) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 \cdot 0.74508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.74508637})}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.74508637} + 1)}^{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $121.68$ par $9 e^{- 3.9 \cdot 0.74508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.74508637}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.74508637} + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 1.3$ par $0.74508637$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 e^{- 0.96861228} + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 (\frac{1}{e^{0.96861228}}) + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{e^{0.96861228}}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3}{e^{0.96861228}} + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3}{e^{0.96861228}} + \frac{e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}})}^{4}}$

Étape 5.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3 + e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}})}^{4}}$

Étape 5.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{{(e^{0.96861228})}^{4}}}$

Étape 5.2.2.7

Multipliez les exposants dans ${(e^{0.96861228})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{e^{0.96861228 \cdot 4}}}$

Étape 5.2.2.7.2

Multipliez $0.96861228$ par $4$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{e^{3.87444915}}}$

Étape 5.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f'' (0.74508637) = 13.71546177 (\frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}})$

Étape 5.2.4

Multipliez $13.71546177 \frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Associez $13.71546177$ et $\frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177 e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $13.71546177$ par $e^{3.87444915}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$

Étape 5.2.5

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + {2.71828182}^{0.96861228})}^{4}}$

Étape 5.2.6

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.96861228$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + 2.63428629)}^{4}}$

Étape 5.2.7

Additionnez $3$ et $2.63428629$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{5.63428629}^{4}}$

Étape 5.2.8

Élevez $5.63428629$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{1007.75658204}$

Étape 5.2.9

Divisez $660.48403172$ par $1007.75658204$ .

$f'' (0.74508637) = 0.65540036$

Étape 5.2.10

La réponse finale est $0.65540036$ .

$0.65540036$

Étape 5.3

Sur $0.74508637$ , la dérivée seconde est $0.65540036$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0.84508637)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0.84508637)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.84508637, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.94508637$ dans l’expression.

$f'' (0.94508637) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 \cdot 0.94508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.94508637})}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.94508637} + 1)}^{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $121.68$ par $9 e^{- 3.9 \cdot 0.94508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.94508637}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.94508637} + 1)}^{4}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 1.3$ par $0.94508637$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 e^{- 1.22861228} + 1)}^{4}}$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 (\frac{1}{e^{1.22861228}}) + 1)}^{4}}$

Étape 6.2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{e^{1.22861228}}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3}{e^{1.22861228}} + 1)}^{4}}$

Étape 6.2.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3}{e^{1.22861228}} + \frac{e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}})}^{4}}$

Étape 6.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3 + e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}})}^{4}}$

Étape 6.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{{(e^{1.22861228})}^{4}}}$

Étape 6.2.2.7

Multipliez les exposants dans ${(e^{1.22861228})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{e^{1.22861228 \cdot 4}}}$

Étape 6.2.2.7.2

Multipliez $1.22861228$ par $4$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{e^{4.91444915}}}$

Étape 6.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f'' (0.94508637) = - 8.15412384 \frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

Étape 6.2.4

Multipliez $- 8.15412384 \frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Associez $- 8.15412384$ et $\frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384 e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $- 8.15412384$ par $e^{4.91444915}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 1110.95240355}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

Étape 6.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

Étape 6.2.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + {2.71828182}^{1.22861228})}^{4}}$

Étape 6.2.7

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.22861228$ .

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + 3.41648514)}^{4}}$

Étape 6.2.8

Additionnez $3$ et $3.41648514$ .

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{6.41648514}^{4}}$

Étape 6.2.9

Élevez $6.41648514$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{1695.07443516}$

Étape 6.2.10

Divisez $1110.95240355$ par $1695.07443516$ .

$f'' (0.94508637) = - 1 \cdot 0.65540036$

Étape 6.2.11

Multipliez $- 1$ par $0.65540036$ .

$f'' (0.94508637) = - 0.65540036$

Étape 6.2.12

La réponse finale est $- 0.65540036$ .

$- 0.65540036$

Étape 6.3

Sur $0.94508637$ , la dérivée seconde est $- 0.65540036$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0.84508637, \infty)$

Diminue sur $(0.84508637, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$ .

$(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

Étape 8