Algèbre Exemples

$2 \sqrt{2} (\cos (135) + i \sin (135))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$2 \sqrt{2} (- \cos (45) + i \sin (135))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (135))$

Étape 1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (45))$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$2 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + 2 (\sqrt{2}) \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$- {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$- {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 8

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i$

Étape 9

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} i$

Étape 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 12.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 12.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 12.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 12.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 12.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2^{1} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 12.1.5

Évaluez l’exposant.

$- 1 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 + {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 12.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 12.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i$

Étape 12.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i$

Étape 12.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 + 2^{\frac{2}{2}} i$

Étape 12.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 + 2^{\frac{2}{2}} i$

Étape 12.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 + 2^{1} i$

Étape 12.3.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 + 2 i$