Algèbre Exemples

$y = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 - x^{2}}$ comme ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 2.1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.8.3

Placez ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.14

Associez les fractions.

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Étape 2.1.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 2.1.1.23

Multipliez ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.1.1.24

Pour écrire ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.26

Multipliez ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.27

Simplifiez ${(2 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - 2 x^{2} + 2$ et $g (x) = {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez.

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Étape 2.1.2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.4.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.4.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.4.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.4.6

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = - x^{2} + 2$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{{(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.10.3

Placez ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.15

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.16

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.2.16.1

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.16.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.16.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.16.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.17.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.17.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.20

Multipliez $- 2 x^{2} + 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21

Simplifiez

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Étape 2.1.2.21.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.21.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.2

Multipliez $- 2 x^{2} + 2$ par $\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.21.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 2$ .

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Étape 2.1.2.21.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (1)) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.3.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.4

Pour écrire $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.5

Associez $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ et $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.7

Réécrivez $\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.2.21.1.7.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x$ .

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Étape 2.1.2.21.1.7.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.7.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 (1 + x) (1 - x) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.7.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.7.2

Associez les exposants.

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Étape 2.1.2.21.1.7.2.1

Multipliez ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.21.1.7.2.1.1

Déplacez ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.7.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.7.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.7.2.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.7.2.2

Simplifiez $- 2 {(- x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.21.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.4

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.21.1.8.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.21.1.8.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.21.1.8.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.5.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.5.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.21.1.8.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.5.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.6

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 4 + 1)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.1.8.7

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.21.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 2}$

Étape 2.1.2.21.2.2

Multipliez $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{- x^{2} + 2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

Étape 2.1.2.21.2.3

Multipliez ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 2$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.21.2.3.1

Multipliez ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 2$ .

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Étape 2.1.2.21.2.3.1.1

Élevez $- x^{2} + 2$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

Étape 2.1.2.21.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.1.2.21.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.1.2.21.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.1.2.21.2.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.3.3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.2.3.3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.3.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 - x^{2} \geq 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 2$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Étape 3.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Étape 3.2.5

Écrivez $| x | \leq \sqrt{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 3.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 3.2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{2}$

Étape 3.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 3.2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Étape 3.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Étape 3.2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq \sqrt{2}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Étape 3.2.7

Résolvez $- x \leq \sqrt{2}$ quand $x < 0$ .

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Étape 3.2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 3.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 3.2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 3.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Étape 3.2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Étape 3.2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \sqrt{2}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Étape 3.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Notation d’intervalle :

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$[- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}]$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $[- \sqrt{2}, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{((- 1) {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 3)}{1}$

Étape 5.2.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 2}{1}$

Étape 5.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (- 1) = \frac{4}{1}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $4$ par $1$ .

$f'' (- 1) = 4$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $[- \sqrt{2}, 0)$ car $f'' (- 1)$ est positif.

Concave vers le haut sur $[- \sqrt{2}, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \sqrt{2}]$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{(- {(1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 3)}{1}$

Étape 6.2.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 2}{1}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (1) = \frac{- 4}{1}$

Étape 6.2.4.2

Divisez $- 4$ par $1$ .

$f'' (1) = - 4$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, \sqrt{2}]$ car $f'' (1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, \sqrt{2}]$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $[- \sqrt{2}, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, \sqrt{2}]$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8