Algèbre Exemples

$f (y) = \frac{2 y^{3} - y^{2} + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1}$ , $g (y) = \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 1

Remplacez les indicateurs de fonctions par les fonctions réelles dans $f (y) \cdot (g (y))$ .

$(\frac{2 y^{3} - y^{2} + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1}) \cdot (\frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1})$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 y^{3} - y^{2}) + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y^{2} (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y^{3} - y^{2}) + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{y^{2} (y - 1) + 1 (y - 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 (y) + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1$ plus $- 2$

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} + (- 1 - 2) y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 1 y - 2 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y^{2} - 1 y) - 2 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{y (2 y - 1) - (2 y - 1)}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 4 y + 1}$

Étape 2.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 4 y + 1^{2}}$

Étape 2.4.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Étape 2.4.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 2.4.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 2 y$ et $b = 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Associez.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun à $2 y - 1$ et ${(2 y - 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Factorisez $2 y - 1$ à partir de $(2 y - 1) (y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))$ .

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}}$

Étape 2.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Factorisez $2 y - 1$ à partir de $(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(2 y - 1) ((y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1))}$

Étape 2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(2 y - 1) ((y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1))}$

Étape 2.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1)}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1)}$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 y - 1) (y - 1)}{(y - 1) (2 y - 1)}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $2 y - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 y - 1) (y - 1)}{(y - 1) (2 y - 1)}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Étape 2.5.5

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Étape 2.5.5.2

Réécrivez l’expression.

$1$