Algèbre Exemples

$y = \sqrt[3]{x} + 1$ ; $[0, 1]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sqrt[3]{x} + 1 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\sqrt[3]{x} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{x} = - 1$

Étape 1.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 1.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{3}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x = - 1$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 1, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $\sqrt[3]{x} + 1$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{0}^{1} d x$

Étape 3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{0}^{1} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} d x$

Étape 3.6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + x]_{0}^{1}$

Étape 3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.7.1

Associez $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1}$ et $x]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x]_{0}^{1}$

Étape 3.7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.7.2.1

Évaluez $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + 1) - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Étape 3.7.2.2

Simplifiez

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Étape 3.7.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{4} \cdot 1 + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Étape 3.7.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{3}{4} + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Étape 3.7.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3}{4} + \frac{4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Étape 3.7.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Étape 3.7.2.2.5

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Étape 3.7.2.2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} + 0)$

Étape 3.7.2.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Étape 3.7.2.2.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.7.2.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Étape 3.7.2.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + 0)$

Étape 3.7.2.2.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0 + 0)$

Étape 3.7.2.2.10

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $0$ .

$\frac{7}{4} - (0 + 0)$

Étape 3.7.2.2.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{7}{4} - 0$

Étape 3.7.2.2.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{7}{4} + 0$

Étape 3.7.2.2.13

Additionnez $\frac{7}{4}$ et $0$ .

$\frac{7}{4}$

Étape 4