Algèbre Exemples

$(- 3, \frac{343}{64})$

Étape 1

Pour déterminer une fonction exponentielle, $f (x) = a^{x}$ , contenant le point, définissez $f (x)$ dans la fonction sur la valeur $y$ $\frac{343}{64}$ du point, et définissez $x$ sur la valeur $x$ $- 3$ du point.

$\frac{343}{64} = a^{- 3}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $a^{- 3} = \frac{343}{64}$ .

$a^{- 3} = \frac{343}{64}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a^{3}, 64$

Étape 2.3.2

Since $a^{3}, 64$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 64$ then find LCM for the variable part $a^{3}$ .

Étape 2.3.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.3.5

Les facteurs premiers pour $64$ sont $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 2.3.5.1

$64$ a des facteurs de $2$ et $32$ .

$2 \cdot 32$

Étape 2.3.5.2

$32$ a des facteurs de $2$ et $16$ .

$2 \cdot 2 \cdot 16$

Étape 2.3.5.3

$16$ a des facteurs de $2$ et $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8$

Étape 2.3.5.4

$8$ a des facteurs de $2$ et $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Étape 2.3.5.5

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 2.3.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 2.3.6.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$16 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 2.3.6.4

Multipliez $16$ par $2$ .

$32 \cdot 2$

Étape 2.3.6.5

Multipliez $32$ par $2$ .

$64$

Étape 2.3.7

Les facteurs pour $a^{3}$ sont $a \cdot a \cdot a$ , qui correspond à $a$ multipliés entre eux $3$ fois.

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

$a$ se produit $3$ fois.

Étape 2.3.8

Le plus petit multiple commun de $a^{3}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$a \cdot a \cdot a$

Étape 2.3.9

Simplifiez $a \cdot a \cdot a$ .

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Étape 2.3.9.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} \cdot a$

Étape 2.3.9.2

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.9.2.1

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 2.3.9.2.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{2} \cdot a^{1}$

Étape 2.3.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2 + 1}$

Étape 2.3.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$a^{3}$

Étape 2.3.10

Le plus petit multiple commun pour $a^{3}, 64$ est la partie numérique $64$ multipliée par la partie variable.

$64 a^{3}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ par $64 a^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ par $64 a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} (64 a^{3}) = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 \frac{1}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Étape 2.4.2.2

Associez $64$ et $\frac{1}{a^{3}}$ .

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Étape 2.4.2.3

Annulez le facteur commun de $a^{3}$ .

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Étape 2.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Étape 2.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Factorisez $64$ à partir de $64 a^{3}$ .

$64 = \frac{343}{64} (64 (a^{3}))$

Étape 2.4.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Étape 2.4.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$64 = 343 a^{3}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $343 a^{3} = 64$ .

$343 a^{3} = 64$

Étape 2.5.2

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$343 a^{3} - 64 = 0$

Étape 2.5.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.5.3.1

Réécrivez $343 a^{3}$ comme ${(7 a)}^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 64 = 0$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 4^{3} = 0$

Étape 2.5.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 7 a$ et $b = 4$ .

$(7 a - 4) ({(7 a)}^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 2.5.3.4

Simplifiez

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Étape 2.5.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $7 a$ .

$(7 a - 4) (7^{2} a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 2.5.3.4.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 2.5.3.4.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 4^{2}) = 0$

Étape 2.5.3.4.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$

Étape 2.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 a - 4 = 0$

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Étape 2.5.5

Définissez $7 a - 4$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 2.5.5.1

Définissez $7 a - 4$ égal à $0$ .

$7 a - 4 = 0$

Étape 2.5.5.2

Résolvez $7 a - 4 = 0$ pour $a$ .

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Étape 2.5.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$7 a = 4$

Étape 2.5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $7 a = 4$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 2.5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 a = 4$ par $7$ .

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Étape 2.5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Étape 2.5.5.2.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{4}{7}$

Étape 2.5.6

Définissez $49 a^{2} + 28 a + 16$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 2.5.6.1

Définissez $49 a^{2} + 28 a + 16$ égal à $0$ .

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Étape 2.5.6.2

Résolvez $49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$ pour $a$ .

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Étape 2.5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 49$ , $b = 28$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 16)}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.3.1.1

Élevez $28$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

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Étape 2.5.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 196$ par $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.3

Soustrayez $3136$ de $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 2352$ comme $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2352)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.7

Réécrivez $2352$ comme $28^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.3.1.7.1

Factorisez $784$ à partir de $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $784$ comme $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.1.9

Déplacez $28$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Étape 2.5.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.4.1.1

Élevez $28$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 196$ par $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.3

Soustrayez $3136$ de $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 2352$ comme $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2352)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.7

Réécrivez $2352$ comme $28^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1.7.1

Factorisez $784$ à partir de $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $784$ comme $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.1.9

Déplacez $28$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Étape 2.5.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$a = \frac{- 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.6.2.4.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (- 2 i \sqrt{3})}{7}$

Étape 2.5.6.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (- 2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 - 2 i \sqrt{3})}{7}$

Étape 2.5.6.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.5.1.1

Élevez $28$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 196$ par $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.3

Soustrayez $3136$ de $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 2352$ comme $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2352)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.7

Réécrivez $2352$ comme $28^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1.7.1

Factorisez $784$ à partir de $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $784$ comme $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.1.9

Déplacez $28$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Étape 2.5.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Étape 2.5.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$a = \frac{- 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.6.2.5.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (2 i \sqrt{3})}{7}$

Étape 2.5.6.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 + 2 i \sqrt{3})}{7}$

Étape 2.5.6.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$ vraie.

$a = \frac{4}{7}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Étape 2.6

Supprimez toutes les valeurs contenant des composants imaginaires.

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Étape 2.6.1

Il n’y a pas de composant imaginaire. Ajoutez $\frac{4}{7}$ à la réponse finale.

$\frac{4}{7}$ est un nombre réel

Étape 2.6.2

La lettre $i$ représente un composant imaginaire et ça n’est pas un nombre réel. N’ajoutez pas $- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ à la réponse finale.

$- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ n’est pas un nombre réel

Étape 2.6.3

La lettre $i$ représente un composant imaginaire et ça n’est pas un nombre réel. N’ajoutez pas $- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ à la réponse finale.

$- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ n’est pas un nombre réel

Étape 2.6.4

La réponse finale est la liste des valeurs ne contenant pas de composants imaginaires.

$a = \frac{4}{7}$

Étape 3

Remplacez à nouveau chaque valeur pour $a$ dans la fonction $f (x) = a^{x}$ pour déterminer chaque fonction exponentielle possible.

$f (x) = {(\frac{4}{7})}^{x}$