Algèbre Exemples

$f (x) = - 2 x^{4} + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 2 x + 8$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = - 2 x^{4} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Étape 2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{4} + 2 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Étape 2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $2 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} - 2 x \cdot - 1 + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Étape 2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{3}) - 2 x (- 1)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1^{3}) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - i^{3} = (a - i) (a^{2} + a i + i^{2})$ où $a = x$ et $i = 1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Étape 5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Étape 6

Factorisez $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 13$

Étape 6.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{076923}, \pm 8, \pm 0.\overline{615384}, \pm 2, \pm 0.\overline{153846}, \pm 4, \pm 0.\overline{307692}$

Étape 6.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$f (x) = 13 \cdot 1^{3} - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Étape 6.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$f (x) = 13 \cdot 1 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Étape 6.3.3

Multipliez $13$ par $1$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Étape 6.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1 + 8$

Étape 6.3.5

Multipliez $- 21$ par $1$ .

$f (x) = 13 - 21 + 8$

Étape 6.3.6

Soustrayez $21$ de $13$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Étape 6.3.7

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f (x) = 0$

Étape 6.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$f (x) = \frac{13 x^{3} - 21 x^{2} + 8}{x - 1}$

Étape 6.5

Divisez $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ par $x - 1$ .

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Étape 6.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$f (x) =$

Étape 6.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $13 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 6.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 6.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $13 x^{3} - 13 x^{2}$

$f (x) =$

Étape 6.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 6.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 6.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 6.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 6.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} + 8 x$

$f (x) =$

Étape 6.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 6.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 6.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 6.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 6.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x + 8$

$f (x) =$

Étape 6.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 6.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$f (x) = 13 x^{2} - 8 x - 8$

Étape 6.6

Écrivez $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 7

Factorisez $x - 1$ à partir de $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 7.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1) + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 9.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 9.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 9.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 9.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 9.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Étape 10

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $13 x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 2 x - 8 x - 8)$

Étape 11

Soustrayez $8 x$ de $- 2 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8)$

Étape 12

Factorisez.

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Étape 12.1

Réécrivez $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ en forme factorisée.

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Étape 12.1.1

Factorisez $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 12.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 12.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Étape 12.1.1.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 12.1.1.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$f (x) = - 2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Étape 12.1.1.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$f (x) = - 2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Étape 12.1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 0.125$ .

$f (x) = 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Étape 12.1.1.3.4

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$f (x) = 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Étape 12.1.1.3.5

Multipliez $11$ par $0.25$ .

$f (x) = 0.25 + 2.75 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Étape 12.1.1.3.6

Additionnez $0.25$ et $2.75$ .

$f (x) = 3 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Étape 12.1.1.3.7

Multipliez $- 10$ par $- 0.5$ .

$f (x) = 3 + 5 - 8$

Étape 12.1.1.3.8

Additionnez $3$ et $5$ .

$f (x) = 8 - 8$

Étape 12.1.1.3.9

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (x) = 0$

Étape 12.1.1.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$f (x) = \frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8}{2 x + 1}$

Étape 12.1.1.5

Divisez $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ par $2 x + 1$ .

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Étape 12.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x^{2} + 6 x$

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 16 x - 8$

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 12.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$f (x) = - x^{2} + 6 x - 8$

Étape 12.1.1.6

Écrivez $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 x - 8))$

Étape 12.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 12.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 12.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + i x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ et dont la somme est $i = 6$ .

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Étape 12.1.2.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 (x) - 8))$

Étape 12.1.2.1.1.2

Réécrivez $6$ comme $2$ plus $4$

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8))$

Étape 12.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8))$

Étape 12.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 12.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8))$

Étape 12.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)))$

Étape 12.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x + 2) (x - 4)))$

Étape 12.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x + 2) (x - 4))$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x - 1) (2 x + 1) (- x + 2) (x - 4)$