Algèbre Exemples

$3 x + 6 y + 6 z = 12$ , $- 3 x - 6 y - 6 z = - 12$ , $5 x + 10 y + 10 z = 20$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ - 12 \\ 20 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez le déterminant de la matrice des coefficients $[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Écrivez $[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}]$ en notation de déterminant.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 2.2.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 2.2.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Additionnez les termes entre eux.

$3 | \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$ .

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Étape 2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (- 6 \cdot 10 - 10 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $- 6$ par $10$ .

$3 (- 60 - 10 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $- 6$ .

$3 (- 60 + 60) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 60$ et $60$ .

$3 \cdot 0 - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 3 \cdot 10 - 5 \cdot - 6) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $10$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 30 - 5 \cdot - 6) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 6$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 30 + 30) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- 30$ et $30$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 3 \cdot 10 - 5 \cdot - 6)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $10$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 30 - 5 \cdot - 6)$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 6$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 30 + 30)$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $- 30$ et $30$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0 + 6 \cdot 0$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 2.6.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

$D = 0$

Étape 3

Comme le déterminant est $0$ , il est impossible de résoudre le système avec la règle de Cramer.