Algèbre Exemples

$\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} = 15$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}$ .

$\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}) = 15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}) = 15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} = 15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1} + 15 (2 \sqrt{R_{1}})$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $15$ .

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1} + 30 \sqrt{R_{1}}$

Étape 3

Résolvez $R_{1}$ .

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Étape 3.1

Résolvez $\sqrt{R_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Soustrayez $30 \sqrt{R_{1}}$ des deux côtés de l’équation.

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} - 30 \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2 \sqrt{R_{1}}$ à partir de $2 R_{1} \sqrt{R_{1}} - 30 \sqrt{R_{1}}$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $2 \sqrt{R_{1}}$ à partir de $2 R_{1} \sqrt{R_{1}}$ .

$2 \sqrt{R_{1}} R_{1} - 30 \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1}$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $2 \sqrt{R_{1}}$ à partir de $- 30 \sqrt{R_{1}}$ .

$2 \sqrt{R_{1}} R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}} \cdot - 15 = 15 R_{1}$

Étape 3.1.2.3

Factorisez $2 \sqrt{R_{1}}$ à partir de $2 \sqrt{R_{1}} R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}} \cdot - 15$ .

$2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15) = 15 R_{1}$

Étape 3.1.3

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15) = 15 R_{1}$ par $2 (R_{1} - 15)$ et simplifiez.

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Étape 3.1.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15) = 15 R_{1}$ par $2 (R_{1} - 15)$ .

$\frac{2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{2 (R_{1} - 15)} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Étape 3.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{2 (R_{1} - 15)} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Étape 3.1.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{R_{1} - 15} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Étape 3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $R_{1} - 15$ .

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Étape 3.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{R_{1} - 15} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Étape 3.1.3.2.2.2

Divisez $\sqrt{R_{1}}$ par $1$ .

$\sqrt{R_{1}} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{R_{1}}}^{2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{R_{1}}$ comme ${R_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

${({R_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({R_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({R_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${R_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${R_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${R_{1}}^{1} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez ${(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$ .

$R_{1} = \frac{{(15 R_{1})}^{2}}{{(2 (R_{1} - 15))}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $15 R_{1}$ .

$R_{1} = \frac{15^{2} {R_{1}}^{2}}{{(2 (R_{1} - 15))}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 (R_{1} - 15)$ .

$R_{1} = \frac{15^{2} {R_{1}}^{2}}{2^{2} {(R_{1} - 15)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{2^{2} {(R_{1} - 15)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}}$

Étape 3.4

Résolvez $R_{1}$ .

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Étape 3.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 4 {(R_{1} - 15)}^{2}$

Étape 3.4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 {(R_{1} - 15)}^{2}$

Étape 3.4.2

Multiplier chaque terme dans $R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}}$ par $4 {(R_{1} - 15)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}}$ par $4 {(R_{1} - 15)}^{2}$ .

$R_{1} (4 {(R_{1} - 15)}^{2}) = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} (4 {(R_{1} - 15)}^{2})$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} (4 {(R_{1} - 15)}^{2})$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 4 \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Étape 3.4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(R_{1} - 15)}^{2}$ .

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 4 \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Étape 3.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 4 \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Étape 3.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{{(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Étape 3.4.2.3.3

Annulez le facteur commun de ${(R_{1} - 15)}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{{(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Étape 3.4.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 225 {R_{1}}^{2}$

Étape 3.4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Déplacez tous les termes contenant $R_{1}$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.3.1.1

Soustrayez $225 {R_{1}}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Réécrivez ${(R_{1} - 15)}^{2}$ comme $(R_{1} - 15) (R_{1} - 15)$ .

$4 R_{1} ((R_{1} - 15) (R_{1} - 15)) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.2

Développez $(R_{1} - 15) (R_{1} - 15)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 R_{1} (R_{1} (R_{1} - 15) - 15 (R_{1} - 15)) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 R_{1} (R_{1} R_{1} + R_{1} \cdot - 15 - 15 (R_{1} - 15)) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 R_{1} (R_{1} R_{1} + R_{1} \cdot - 15 - 15 R_{1} - 15 \cdot - 15) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.3.1.1

Multipliez $R_{1}$ par $R_{1}$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} + R_{1} \cdot - 15 - 15 R_{1} - 15 \cdot - 15) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.3.1.2

Déplacez $- 15$ à gauche de $R_{1}$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} - 15 \cdot R_{1} - 15 R_{1} - 15 \cdot - 15) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.3.1.3

Multipliez $- 15$ par $- 15$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} - 15 R_{1} - 15 R_{1} + 225) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.3.2

Soustrayez $15 R_{1}$ de $- 15 R_{1}$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} - 30 R_{1} + 225) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 R_{1} {R_{1}}^{2} + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.5

Simplifiez

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Étape 3.4.3.1.2.5.1

Multipliez $R_{1}$ par ${R_{1}}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.1.2.5.1.1

Déplacez ${R_{1}}^{2}$ .

$4 ({R_{1}}^{2} R_{1}) + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.5.1.2

Multipliez ${R_{1}}^{2}$ par $R_{1}$ .

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Étape 3.4.3.1.2.5.1.2.1

Élevez $R_{1}$ à la puissance $1$ .

$4 ({R_{1}}^{2} {R_{1}}^{1}) + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {R_{1}}^{2 + 1} + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 R_{1} R_{1} + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.5.3

Multipliez $225$ par $4$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 R_{1} R_{1} + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.6.1

Multipliez $R_{1}$ par $R_{1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.1.2.6.1.1

Déplacez $R_{1}$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 (R_{1} R_{1}) + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.6.1.2

Multipliez $R_{1}$ par $R_{1}$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.2.6.2

Multipliez $4$ par $- 30$ .

$4 {R_{1}}^{3} - 120 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.1.3

Soustrayez $225 {R_{1}}^{2}$ de $- 120 {R_{1}}^{2}$ .

$4 {R_{1}}^{3} - 345 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} = 0$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $R_{1}$ à partir de $4 {R_{1}}^{3} - 345 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1}$ .

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Étape 3.4.3.2.1

Factorisez $R_{1}$ à partir de $4 {R_{1}}^{3}$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) - 345 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} = 0$

Étape 3.4.3.2.2

Factorisez $R_{1}$ à partir de $- 345 {R_{1}}^{2}$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) + R_{1} (- 345 R_{1}) + 900 R_{1} = 0$

Étape 3.4.3.2.3

Factorisez $R_{1}$ à partir de $900 R_{1}$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) + R_{1} (- 345 R_{1}) + R_{1} \cdot 900 = 0$

Étape 3.4.3.2.4

Factorisez $R_{1}$ à partir de $R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) + R_{1} (- 345 R_{1})$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1}) + R_{1} \cdot 900 = 0$

Étape 3.4.3.2.5

Factorisez $R_{1}$ à partir de $R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1}) + R_{1} \cdot 900$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900) = 0$

Étape 3.4.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$R_{1} = 0$

$4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900 = 0$

Étape 3.4.3.4

Définissez $R_{1}$ égal à $0$ .

$R_{1} = 0$

Étape 3.4.3.5

Définissez $4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900$ égal à $0$ et résolvez $R_{1}$ .

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Étape 3.4.3.5.1

Définissez $4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900$ égal à $0$ .

$4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900 = 0$

Étape 3.4.3.5.2

Résolvez $4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900 = 0$ pour $R_{1}$ .

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Étape 3.4.3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4.3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 345$ et $c = 900$ dans la formule quadratique et résolvez pour $R_{1}$ .

$\frac{345 \pm \sqrt{{(- 345)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 900)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 3.4.3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.3.5.2.3.1.1

Élevez $- 345$ à la puissance $2$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{119025 - 4 \cdot 4 \cdot 900}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 900$ .

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Étape 3.4.3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{119025 - 16 \cdot 900}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $900$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{119025 - 14400}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.3.5.2.3.1.3

Soustrayez $14400$ de $119025$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{104625}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.3.5.2.3.1.4

Réécrivez $104625$ comme $15^{2} \cdot 465$ .

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Étape 3.4.3.5.2.3.1.4.1

Factorisez $225$ à partir de $104625$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{225 (465)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.3.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{15^{2} \cdot 465}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.3.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$R_{1} = \frac{345 \pm 15 \sqrt{465}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm 15 \sqrt{465}}{8}$

Étape 3.4.3.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$R_{1} = \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}, \frac{345 - 15 \sqrt{465}}{8}$

Étape 3.4.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900) = 0$ vraie.

$R_{1} = 0, \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}, \frac{345 - 15 \sqrt{465}}{8}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} = 15$ vrai.

$R_{1} = \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$R_{1} = \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}$

Forme décimale :

$R_{1} = 83.55723497 \dots$