Algèbre Exemples

$f {(y e s)}^{- 1}$

Étape 1

Comme $f$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $f {(y e s)}^{- 1}$ par rapport à $y$ est $f \frac{d}{d y} [{(y e s)}^{- 1}]$ .

$f \frac{d}{d y} [{(y e s)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y e s$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y e s$ .

$f (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y e s])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y e s])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y e s$ .

$f (- {(y e s)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y e s])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $e s$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y e s$ par rapport à $y$ est $e s \frac{d}{d y} [y]$ .

$f (- {(y e s)}^{- 2} (e s \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f (- {(y e s)}^{- 2} (e s \cdot 1))$

Étape 3.3

Multipliez $e$ par $1$ .

$f (- {(y e s)}^{- 2} (s \cdot e))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $y e s$ .

$f (- ({(y e)}^{- 2} s^{- 2}) (s e))$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $y e$ .

$f (- (y^{- 2} e^{- 2} s^{- 2}) (s e))$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$f (- y^{- 2} s^{- 2} (s (e^{- 2} e^{1})))$

Étape 4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- y^{- 2} s^{- 2} (s e^{- 2 + 1}))$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (- y^{- 2} s^{- 2} (s e^{- 1}))$

Étape 4.3.4

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$f (- y^{- 2} (s^{1} s^{- 2}) e^{- 1})$

Étape 4.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- y^{- 2} s^{1 - 2} e^{- 1})$

Étape 4.3.6

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- y^{- 2} s^{- 1} e^{- 1})$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $f (- y^{- 2} s^{- 1} e^{- 1})$ .

$- e^{- 1} f s^{- 1} y^{- 2}$

Étape 4.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} f s^{- 1} y^{- 2}$

Étape 4.6

Associez $f$ et $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{f}{e} s^{- 1} y^{- 2}$

Étape 4.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{f}{e} \cdot \frac{1}{s} y^{- 2}$

Étape 4.8

Multipliez $\frac{1}{s}$ par $\frac{f}{e}$ .

$- \frac{f}{s e} y^{- 2}$

Étape 4.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{f}{s e} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Étape 4.10

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{f}{s e}$ .

$- \frac{f}{y^{2} s e}$