Algèbre Exemples

$\cos (135 + 30)$

Étape 1

Utilisez la formule de la somme pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\cos (30) \cdot \cos (135) - \sin (30) \cdot \sin (135)$

Étape 2

Supprimez les parenthèses.

$\cos (30) \cdot \cos (135) - \sin (30) \cdot \sin (135)$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (135) - \sin (30) \cdot \sin (135)$

Étape 3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \cos (45)) - \sin (30) \cdot \sin (135)$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin (30) \cdot \sin (135)$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (30) \cdot \sin (135)$

Étape 3.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \sin (30) \cdot \sin (135)$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \sin (30) \cdot \sin (135)$

Étape 3.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \sin (30) \cdot \sin (135)$

Étape 3.5

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \sin (135)$

Étape 3.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45)$

Étape 3.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.8

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) - \sqrt{2}}{4}$

Étape 4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) - (\sqrt{2})}{4}$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{6}) - (\sqrt{2})$ .

$\frac{- (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Réécrivez $- (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ comme $- 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Étape 4.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$- 0.96592582 \dots$