Algèbre Exemples

$\tan (45 - 30)$

Étape 1

Utilisez la formule de la différence pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Étape 2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Étape 3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)}$

Étape 4.2

Multipliez $\tan (30)$ par $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (30)}$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 + \sqrt{3}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 + \sqrt{3}}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{1}{3 + \sqrt{3}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$(3 - \sqrt{3}) (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Étape 8.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{6} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 (2)} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 2} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Étape 8.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Étape 8.6

Associez $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{(3 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 9.2

Multipliez $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 9.2.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{6}$

Étape 9.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{6}$

Étape 9.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Étape 9.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Étape 9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Étape 9.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 9.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 9.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 9.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{1}}{6}$

Étape 9.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{6}$

Étape 9.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3}{6}$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun à $3 \sqrt{3} - 3$ et $6$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3}) - 3}{6}$

Étape 9.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)}{6}$

Étape 9.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{6}$

Étape 9.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 (2)}$

Étape 9.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 \cdot 2}$

Étape 9.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1)}{2}$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - - 1}{2}$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}{2}$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.2

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun à $4 - 2 \sqrt{3}$ et $2$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 12.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2}$

Étape 12.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 (1)}$

Étape 12.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 12.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Étape 12.3.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$0.26794919 \dots$