Algèbre Exemples

$\cot (- \frac{7 π}{12})$

Étape 1

Remplacez $\cot (- \frac{7 π}{12})$ par une expression équivalente $\frac{1}{\tan (- \frac{7 π}{12})}$ en utilisant les identités fondamentales.

$\frac{1}{\tan (- \frac{7 π}{12})}$

Étape 2

Utilisez une formule de somme ou de différence sur le dénominateur.

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Étape 2.1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $- \frac{7 π}{12}$ peut être divisé en $\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6}$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6})}$

Étape 2.2

Utilisez la formule de la différence pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{\frac{1 + \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.4.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.4.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\tan (\frac{5 π}{6})$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Étape 2.5.3

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6})}}$

Étape 2.5.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}}$

Étape 2.5.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}}$

Étape 2.5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}}$

Étape 2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}}$

Étape 2.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}})}$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}$

Étape 2.9

Simplifiez les termes.

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})})}$

Étape 2.9.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}})}$

Étape 2.9.3

Simplifiez

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Étape 2.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{6}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Étape 2.9.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.9.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Étape 2.9.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Étape 2.9.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Étape 2.9.6

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}}$

Étape 2.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}$

Étape 2.10.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}$

Étape 2.10.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}}$

Étape 2.10.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}}$

Étape 2.10.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}}$

Étape 2.10.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}}$

Étape 2.10.5

Annulez le facteur commun à $3 \sqrt{3} + 3$ et $6$ .

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Étape 2.10.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}}$

Étape 2.10.5.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}}$

Étape 2.10.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}}$

Étape 2.10.5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}}$

Étape 2.10.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}}$

Étape 2.10.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez les termes.

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Étape 2.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}}$

Étape 2.11.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}$

Étape 2.11.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}}$

Étape 2.11.4

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $2$ .

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Étape 2.11.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}}$

Étape 2.11.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}}$

Étape 2.11.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}}$

Étape 2.11.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.11.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}}$

Étape 2.11.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}}$

Étape 2.11.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Étape 2.11.4.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ par $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ par $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Étape 3.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Étape 3.5

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$0.26794919 \dots$