Algèbre Exemples

$y = \sqrt[3]{x + 1}$ ; $[- 1, 7]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sqrt[3]{x + 1} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\sqrt[3]{x + 1} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x + 1}}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez

$x + 1 = 0^{3}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 1, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x - \int_{- 1}^{7} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $7$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $\sqrt[3]{x + 1}$ .

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x$

Étape 3.3

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.3.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.3.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{lower} = - 1 + 1$

Étape 3.3.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Étape 3.3.5

Additionnez $7$ et $1$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 3.3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Étape 3.3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Étape 3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Étape 3.6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Évaluez $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ sur $8$ et sur $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez

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Étape 3.6.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.6

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.7

Annulez le facteur commun à $48$ et $4$ .

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Étape 3.6.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.7.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.8

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.6.2.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 3.6.2.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 3.6.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.6.2.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

Étape 3.6.2.12

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

Étape 3.6.2.13

Multipliez $0$ par $\frac{3}{4}$ .

$12 + 0$

Étape 3.6.2.14

Additionnez $12$ et $0$ .

$12$

Étape 4