Algèbre Exemples

$f (x) = - x^{2} {(x + 8)}^{3} (x^{2} - 1)$

Étape 1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$- x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 8 + 3 x \cdot 8^{2} + 8^{3}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$- x^{2} (x^{3} + 24 x^{2} + 3 x \cdot 8^{2} + 8^{3}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- x^{2} (x^{3} + 24 x^{2} + 3 x \cdot 64 + 8^{3}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $64$ par $3$ .

$- x^{2} (x^{3} + 24 x^{2} + 192 x + 8^{3}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.2.1.4

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$- x^{2} (x^{3} + 24 x^{2} + 192 x + 512) (x^{2} - 1)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- x^{2} x^{3} - x^{2} (24 x^{2}) - x^{2} (192 x) - x^{2} \cdot 512) (x^{2} - 1)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$(- (x^{3} x^{2}) - x^{2} (24 x^{2}) - x^{2} (192 x) - x^{2} \cdot 512) (x^{2} - 1)$

Étape 1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- x^{3 + 2} - x^{2} (24 x^{2}) - x^{2} (192 x) - x^{2} \cdot 512) (x^{2} - 1)$

Étape 1.3.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$(- x^{5} - x^{2} (24 x^{2}) - x^{2} (192 x) - x^{2} \cdot 512) (x^{2} - 1)$

Étape 1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(- x^{5} - 1 \cdot 24 x^{2} x^{2} - x^{2} (192 x) - x^{2} \cdot 512) (x^{2} - 1)$

Étape 1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(- x^{5} - 1 \cdot 24 x^{2} x^{2} - 1 \cdot 192 x^{2} x - x^{2} \cdot 512) (x^{2} - 1)$

Étape 1.3.4

Multipliez $512$ par $- 1$ .

$(- x^{5} - 1 \cdot 24 x^{2} x^{2} - 1 \cdot 192 x^{2} x - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(- x^{5} - 1 \cdot 24 (x^{2} x^{2}) - 1 \cdot 192 x^{2} x - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- x^{5} - 1 \cdot 24 x^{2 + 2} - 1 \cdot 192 x^{2} x - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.4.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$(- x^{5} - 1 \cdot 24 x^{4} - 1 \cdot 192 x^{2} x - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.4.2

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$(- x^{5} - 24 x^{4} - 1 \cdot 192 x^{2} x - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.4.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.3.1

Déplacez $x$ .

$(- x^{5} - 24 x^{4} - 1 \cdot 192 (x \cdot x^{2}) - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(- x^{5} - 24 x^{4} - 1 \cdot 192 (x^{1} x^{2}) - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- x^{5} - 24 x^{4} - 1 \cdot 192 x^{1 + 2} - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(- x^{5} - 24 x^{4} - 1 \cdot 192 x^{3} - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.4.4

Multipliez $- 1$ par $192$ .

$(- x^{5} - 24 x^{4} - 192 x^{3} - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 1.5

Développez $(- x^{5} - 24 x^{4} - 192 x^{3} - 512 x^{2}) (x^{2} - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- x^{5} x^{2} - x^{5} \cdot - 1 - 24 x^{4} x^{2} - 24 x^{4} \cdot - 1 - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $x^{5}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- (x^{2} x^{5}) - x^{5} \cdot - 1 - 24 x^{4} x^{2} - 24 x^{4} \cdot - 1 - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2 + 5} - x^{5} \cdot - 1 - 24 x^{4} x^{2} - 24 x^{4} \cdot - 1 - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.1.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$- x^{7} - x^{5} \cdot - 1 - 24 x^{4} x^{2} - 24 x^{4} \cdot - 1 - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- x^{5} \cdot - 1$ .

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Étape 1.6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- x^{7} + 1 x^{5} - 24 x^{4} x^{2} - 24 x^{4} \cdot - 1 - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.2.2

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{4} x^{2} - 24 x^{4} \cdot - 1 - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 (x^{2} x^{4}) - 24 x^{4} \cdot - 1 - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{2 + 4} - 24 x^{4} \cdot - 1 - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.3.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} - 24 x^{4} \cdot - 1 - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} - 192 x^{3} x^{2} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} - 192 (x^{2} x^{3}) - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} - 192 x^{2 + 3} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} - 192 x^{5} - 192 x^{3} \cdot - 1 - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 192$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} - 192 x^{5} + 192 x^{3} - 512 x^{2} x^{2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} - 192 x^{5} + 192 x^{3} - 512 (x^{2} x^{2}) - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} - 192 x^{5} + 192 x^{3} - 512 x^{2 + 2} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.7.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} - 192 x^{5} + 192 x^{3} - 512 x^{4} - 512 x^{2} \cdot - 1$

Étape 1.6.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 512$ .

$- x^{7} + x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} - 192 x^{5} + 192 x^{3} - 512 x^{4} + 512 x^{2}$

Étape 1.6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.6.2.1

Soustrayez $192 x^{5}$ de $x^{5}$ .

$- x^{7} - 191 x^{5} - 24 x^{6} + 24 x^{4} + 192 x^{3} - 512 x^{4} + 512 x^{2}$

Étape 1.6.2.2

Soustrayez $512 x^{4}$ de $24 x^{4}$ .

$- x^{7} - 191 x^{5} - 24 x^{6} - 488 x^{4} + 192 x^{3} + 512 x^{2}$

Étape 2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$7$