Algèbre Exemples

$x^{5} - 3 x^{4} + 4 x^{3} - 32 x + 48$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- 3 x^{4} + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 2

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{4} + 48$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$- 3 (x^{4}) + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 2.2

Factorisez $- 3$ à partir de $48$ .

$- 3 (x^{4}) - 3 (- 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 2.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{4}) - 3 (- 16)$ .

$- 3 (x^{4} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ où $a = x^{2}$ et $i = 4$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 6

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 6.1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ où $a = x$ et $i = 2$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 6.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + 4 x^{3} - 32 x$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) - 32 x$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $- 32 x$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Étape 7.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (4 x^{2})$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Étape 7.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2} - 32)$

Étape 8

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} - 32)$

Étape 9

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (u^{2} + 4 u - 32)$

Étape 10

Factorisez $u^{2} + 4 u - 32$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Étudiez la forme $x^{2} + i x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $i$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 32$ et dont la somme est $4$ .

$- 4, 8$

Étape 10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((u - 4) (u + 8))$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 8))$

Étape 12

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 8))$

Étape 13

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ où $a = x$ et $i = 2$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8))$

Étape 13.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Étape 14

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Étape 14.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$

Étape 14.3

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4) + (x) (x^{2} + 8))$

Étape 15

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 3 \cdot 4 + (x) (x^{2} + 8))$

Étape 16

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + (x) (x^{2} + 8))$

Étape 17

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x \cdot x^{2} + x \cdot 8)$

Étape 18

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1} x^{2} + x \cdot 8)$

Étape 18.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1 + 2} + x \cdot 8)$

Étape 18.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + x \cdot 8)$

Étape 19

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + 8 x)$

Étape 20

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12)$

Étape 21

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Factorisez $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 21.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Étape 21.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Étape 21.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Étape 21.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Étape 21.1.3.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$8 - 12 + 8 \cdot 2 - 12$

Étape 21.1.3.5

Soustrayez $12$ de $8$ .

$- 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Étape 21.1.3.6

Multipliez $8$ par $2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Étape 21.1.3.7

Additionnez $- 4$ et $16$ .

$12 - 12$

Étape 21.1.3.8

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 21.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12}{x - 2}$

Étape 21.1.5

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$12$

Étape 21.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$

Étape 21.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 21.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 21.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 21.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Étape 21.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Étape 21.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 21.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 21.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$

Étape 21.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Étape 21.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Étape 21.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Étape 21.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x - 12$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 21.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Étape 21.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x + 6$

Étape 21.1.6

Écrivez $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 2) (x^{2} - x + 6))$

Étape 21.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) (x - 2) (x^{2} - x + 6)$

Étape 22

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x^{2} - x + 6)$

Étape 22.2

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x^{2} - x + 6)$

Étape 22.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - x + 6)$

Étape 22.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x^{2} - x + 6)$