Algèbre Exemples

$(3 - c^{2} d) (4 - 4 c^{2} d)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d c} [f (c) g (c)]$ est $f (c) \frac{d}{d c} [g (c)] + g (c) \frac{d}{d c} [f (c)]$ où $f (c) = 3 - c^{2} d$ et $g (c) = 4 - 4 c^{2} d$ .

$(3 - c^{2} d) \frac{d}{d c} [4 - 4 c^{2} d] + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 4 c^{2} d$ par rapport à $c$ est $\frac{d}{d c} [4] + \frac{d}{d c} [- 4 c^{2} d]$ .

$(3 - c^{2} d) (\frac{d}{d c} [4] + \frac{d}{d c} [- 4 c^{2} d]) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $4$ par rapport à $c$ est $0$ .

$(3 - c^{2} d) (0 + \frac{d}{d c} [- 4 c^{2} d]) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d c} [- 4 c^{2} d]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 4 d$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $- 4 c^{2} d$ par rapport à $c$ est $- 4 d \frac{d}{d c} [c^{2}]$ .

$(3 - c^{2} d) (0 - 4 d \frac{d}{d c} [c^{2}]) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ est $n c^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 - c^{2} d) (0 - 4 d (2 c)) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$(3 - c^{2} d) (0 - 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Soustrayez $8 d c$ de $0$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- 8 d c$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 c d) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - c^{2} d$ par rapport à $c$ est $\frac{d}{d c} [3] + \frac{d}{d c} [- c^{2} d]$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 c d) + (4 - 4 c^{2} d) (\frac{d}{d c} [3] + \frac{d}{d c} [- c^{2} d])$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $3$ par rapport à $c$ est $0$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 c d) + (4 - 4 c^{2} d) (0 + \frac{d}{d c} [- c^{2} d])$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d c} [- c^{2} d]$ .

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Étape 6.1

Comme $- d$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $- c^{2} d$ par rapport à $c$ est $- d \frac{d}{d c} [c^{2}]$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 c d) + (4 - 4 c^{2} d) (0 - d \frac{d}{d c} [c^{2}])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ est $n c^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 c d) + (4 - 4 c^{2} d) (0 - d (2 c))$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 c d) + (4 - 4 c^{2} d) (0 - 2 d c)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $2 d c$ de $0$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 c d) + (4 - 4 c^{2} d) (- 2 d c)$

Étape 7.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 d c$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 c d) + (4 - 4 c^{2} d) (- 2 c d)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- 8 c d) - c^{2} d (- 8 c d) + (4 - 4 c^{2} d) (- 2 c d)$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- 8 c d) - c^{2} d (- 8 c d) + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3

Associez des termes.

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$- 24 (c d) - c^{2} d (- 8 c d) + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$- 24 c d + 8 c^{2} d (c d) + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.3

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$- 24 c d + 8 (c^{1} c^{2}) d \cdot d + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 c d + 8 c^{1 + 2} d \cdot d + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} d \cdot d + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.6

Élevez $d$ à la puissance $1$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} (d^{1} d) + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.7

Élevez $d$ à la puissance $1$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} (d^{1} d^{1}) + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{1 + 1} + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} + 4 (- 2 c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.10

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} - 8 (c d) - 4 c^{2} d (- 2 c d)$

Étape 8.3.11

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} - 8 c d + 8 c^{2} d (c d)$

Étape 8.3.12

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} - 8 c d + 8 (c^{1} c^{2}) d \cdot d$

Étape 8.3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} - 8 c d + 8 c^{1 + 2} d \cdot d$

Étape 8.3.14

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} - 8 c d + 8 c^{3} d \cdot d$

Étape 8.3.15

Élevez $d$ à la puissance $1$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} - 8 c d + 8 c^{3} (d^{1} d)$

Étape 8.3.16

Élevez $d$ à la puissance $1$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} - 8 c d + 8 c^{3} (d^{1} d^{1})$

Étape 8.3.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} - 8 c d + 8 c^{3} d^{1 + 1}$

Étape 8.3.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 24 c d + 8 c^{3} d^{2} - 8 c d + 8 c^{3} d^{2}$

Étape 8.3.19

Soustrayez $8 c d$ de $- 24 c d$ .

$- 32 c d + 8 c^{3} d^{2} + 8 c^{3} d^{2}$

Étape 8.3.20

Additionnez $8 c^{3} d^{2}$ et $8 c^{3} d^{2}$ .

$- 32 c d + 16 c^{3} d^{2}$