Algèbre Exemples

$\sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

Étape 1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Multipliez $\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 3.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2} + \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Multipliez $\sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} (i \sqrt{2})}{2}$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{2}$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{2}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{2}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2^{1}}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5.1.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{2}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1 + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2}$

Étape 5.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{2}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{2}$

Étape 5.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 1 + \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2}$

Étape 5.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2}$

Étape 5.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + \frac{2^{1} i}{2}$

Étape 5.4.5

Évaluez l’exposant.

$- 1 + \frac{2 i}{2}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + \frac{2 i}{2}$

Étape 5.5.2

Divisez $i$ par $1$ .

$- 1 + i$