Algèbre Exemples

${(4 (\cos (105) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (105)$ est $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

${(4 (- \cos (75) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

${(4 (- \cos (30 + 45) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.3

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

${(4 (- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(4 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(4 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(4 (- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

${(4 (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

${(4 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

${(4 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(4 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (105)))}^{3}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (105)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (75)))}^{3}$

Étape 1.2.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (30 + 45)))}^{3}$

Étape 1.2.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))))}^{3}$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))))}^{3}$

Étape 1.2.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))))}^{3}$

Étape 1.2.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))))}^{3}$

Étape 1.2.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{3}$

Étape 1.2.8

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})))}^{3}$

Étape 1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}))}^{3}$

Étape 1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}))}^{3}$

Étape 2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(4 \frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})}^{3}$

Étape 2.1.2

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(4 \frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})}^{3}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

${(4 \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})}^{3}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${(4 \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4})}^{3}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4})}^{3}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- \sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{3}$