Algèbre Exemples

$(x^{5} + x^{3} - x) \div (x - 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{5} + x^{3} - x$ et $g (x) = x - 4$ .

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5} + x^{3} - x] - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + x^{3} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1 \cdot 1) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) + (- x^{5} - x^{3} - - x) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Développez $(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x (5 x^{4}) + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x \cdot x^{4} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4} x) + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (x^{4} x^{1}) + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{4 + 1} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{5 x^{5} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x^{5} + 3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 (x^{2} x) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{2 + 1} + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - 1 \cdot x - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.7

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.8

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.9

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Multipliez $- - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + 1 x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.1.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + x}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Associez les termes opposés dans $5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + 0}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $5 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3}$ et $0$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3}}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Soustrayez $x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{3}}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 2 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{5}$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) - 20 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 20 x^{4}$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.5.4

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.5.5

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.5.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4})$ .

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4}) + 2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.5.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{5} - 10 x^{4}) + 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.5.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3}) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.5.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} + 2)}{{(x - 4)}^{2}}$