Algèbre Exemples

$p (x) = x^{4} - 6 x^{2} - 27$ $d (x) = x + 3$

Étape 1

Remplacez les indicateurs de fonctions par les fonctions réelles dans $\frac{p (x)}{d (x)}$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 27}{x + 3}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} - 27}{x + 3}$

Étape 2.1.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{u^{2} - 6 u - 27}{x + 3}$

Étape 2.1.3

Factorisez $u^{2} - 6 u - 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 27$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 9, 3$

Étape 2.1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(u - 9) (u + 3)}{x + 3}$

Étape 2.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (x^{2} + 3)}{x + 3}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 3)}{x + 3}$

Étape 2.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3)}{x + 3}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3)}{x + 3}$

Étape 2.2.2

Divisez $(x - 3) (x^{2} + 3)$ par $1$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3)$

Étape 2.3

Développez $(x - 3) (x^{2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x^{2} + 3) - 3 (x^{2} + 3)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 3 (x^{2} + 3)$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot 3$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot 3$

Étape 2.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot 3$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot 3$

Étape 2.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{3} + 3 \cdot x - 3 x^{2} - 3 \cdot 3$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$x^{3} + 3 x - 3 x^{2} - 9$