Algèbre Exemples

$2 + \frac{4}{5} + \frac{8}{25} + \frac{16}{125}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{2}{5}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{2}{5}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 2$ et $r = \frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n - 1}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Étape 5

Multipliez $2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

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Étape 5.1

Associez $2$ et $\frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $2^{n - 1}$ .

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Étape 5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = \frac{2^{1 + n - 1}}{5^{n - 1}}$

Étape 5.2.2

Associez les termes opposés dans $1 + n - 1$ .

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 0}}{5^{n - 1}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$a_{n} = \frac{2^{n}}{5^{n - 1}}$

Étape 6

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 7

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{4}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{5})}^{4} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{2^{4}}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 8.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 8.3

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 8.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1 \cdot \frac{625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 8.5

Associez $- 1$ et $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} + \frac{- 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.7.1

Multipliez $- 1$ par $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 8.7.2

Soustrayez $625$ de $16$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{- 609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Étape 9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Étape 9.2

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Étape 9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 5}{5}}$

Étape 9.4.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{- 3}{5}}$

Étape 9.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{- \frac{3}{5}}$

Étape 10

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{609}{625}}{\frac{3}{5}}$

Étape 11

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{609}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.1

Factorisez $3$ à partir de $609$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 (203)}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 203}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{625} \cdot 5)$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 13.1

Factorisez $5$ à partir de $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 (125)} \cdot 5)$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 \cdot 125} \cdot 5)$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{203}{125}$

Étape 14

Multipliez $2 (\frac{203}{125})$ .

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Étape 14.1

Associez $2$ et $\frac{203}{125}$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot 203}{125}$

Étape 14.2

Multipliez $2$ par $203$ .

$S_{4} = \frac{406}{125}$