Algèbre Exemples

$\frac{\log (t)}{\log_{8} (t)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = \log (t)$ et $g (t) = \log_{8} (t)$ .

$\frac{\log_{8} (t) \frac{d}{d t} [\log (t)] - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 2

La dérivée de $\log (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t \ln (10)}$ .

$\frac{\log_{8} (t) \frac{1}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 3

Associez $\log_{8} (t)$ et $\frac{1}{t \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 4

Multipliez $\frac{\frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$ par $\frac{t \ln (10)}{t \ln (10)}$ .

$\frac{t \ln (10)}{t \ln (10)} \cdot \frac{\frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{t \ln (10) (\frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)])}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t \ln (10) \frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} + t \ln (10) (- \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)])}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $t \ln (10)$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \ln (10) \frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} + t \ln (10) (- \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)])}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\log_{8} (t) + t \ln (10) (- \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)])}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 6

La dérivée de $\log_{8} (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t \ln (8)}$ .

$\frac{\log_{8} (t) + t \ln (10) (- \log (t) \frac{1}{t \ln (8)})}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{t \ln (8)}$ et $\log (t)$ .

$\frac{\log_{8} (t) + t \ln (10) (- \frac{\log (t)}{t \ln (8)})}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 7.2

Associez $t$ et $\frac{\log (t)}{t \ln (8)}$ .

$\frac{\log_{8} (t) + \ln (10) (- \frac{t \log (t)}{t \ln (8)})}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 7.3

Associez $\ln (10)$ et $\frac{t \log (t)}{t \ln (8)}$ .

$\frac{\log_{8} (t) - \frac{\ln (10) (t \log (t))}{t \ln (8)}}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log_{8} (t) - \frac{\ln (10) t \log (t)}{t \ln (8)}}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\log_{8} (t) - \frac{\ln (10) \log (t)}{\ln (8)}}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\log_{8} (t) - \frac{\ln (10) \log (t)}{\ln (8)}}{t {\log_{8}}^{2} (t) \ln (10)}$