Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt{81 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{81 - x^{2}}$ comme ${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 81 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $81 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $81 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $81 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (81) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 1.1.9

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 1.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 1.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 1.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Étape 1.1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Étape 1.1.13.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Étape 1.1.13.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(81 - x^{2})}^{1}}}$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{81 - x^{2}} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{81 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{81 - x^{2}}$ comme ${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(81 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Simplifiez

$81 - x^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$81 - x^{2} = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 81$

Étape 4.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 81$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 81$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 81}{- 1}$

Étape 4.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 81}{- 1}$

Étape 4.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 81}{- 1}$

Étape 4.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.2.3.1

Divisez $- 81$ par $- 1$ .

$x^{2} = 81$

Étape 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{81}$

Étape 4.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{81}$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Étape 4.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 9$

Étape 4.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 9$

Étape 4.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 9$

Étape 4.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 9, - 9$

Étape 4.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{81 - x^{2}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$81 - x^{2} < 0$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 81$

Étape 4.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 81$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 81$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 81}{- 1}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 81}{- 1}$

Étape 4.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 81}{- 1}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.3.1

Divisez $- 81$ par $- 1$ .

$x^{2} > 81$

Étape 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{81}$

Étape 4.5.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{81}$

Étape 4.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{81}$ .

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Étape 4.5.4.2.1.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$| x | > \sqrt{9^{2}}$

Étape 4.5.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > | 9 |$

Étape 4.5.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $9$ est $9$ .

$| x | > 9$

Étape 4.5.5

Écrivez $| x | > 9$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 9$

Étape 4.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 9$

Étape 4.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 9 & x \geq 0 \\ - x > 9 & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.5.6

Déterminez l’intersection de $x > 9$ et $x \geq 0$ .

$x > 9$

Étape 4.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > 9$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{9}{- 1}$

Étape 4.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{9}{- 1}$

Étape 4.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{9}{- 1}$

Étape 4.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.7.3.1

Divisez $9$ par $- 1$ .

$x < - 9$

Étape 4.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 9$ ou $x > 9$

Étape 4.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 9)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10$ dans l’expression.

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - {(- 10)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - 1 \cdot 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $100$ de $81$ .

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 10) = \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3

Sur $x = - 10$ la dérivée est $\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 9)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 9)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 9, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{9}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{- \frac{9}{2}}{{(81 - {(- \frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - {(- \frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}))}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})))}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 7.2.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{9^{2}}{2^{2}})))}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{3} (\frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{9^{2}}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.1.4

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{81}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.2

Pour écrire $81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.3

Associez $81$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{81 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{81 \cdot 4 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.5.1

Multipliez $81$ par $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{324 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.5.2

Soustrayez $81$ de $324$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{243}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{243}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}})$

Étape 7.2.2.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}})$

Étape 7.2.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}}})$

Étape 7.2.2.7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}}})$

Étape 7.2.2.7.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}})$

Étape 7.2.2.7.4

Évaluez l’exposant.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}})$

Étape 7.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot (1 (\frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})))$

Étape 7.2.4

Multipliez $\frac{2}{243^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- 9 \frac{1}{243^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2.6

Associez $- 9$ et $\frac{1}{243^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{- 9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.8

La réponse finale est $\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.3

Sur $x = - \frac{9}{2}$ la dérivée est $\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 9, 0)$ .

Augmente sur $(- 9, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 9)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{\frac{9}{2}}{{(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{9}{2}) = - (\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 8.2.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.2.1

Associez.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \cdot 1}{2 {(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{9^{2}}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3.1.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{81}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3.2

Pour écrire $81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3.3

Associez $81$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{81 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{81 \cdot 4 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.5.1

Multipliez $81$ par $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{324 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3.5.2

Soustrayez $81$ de $324$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{243}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{243}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 8.2.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.3.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 8.2.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}})}$

Étape 8.2.3.7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}})}$

Étape 8.2.3.7.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2})}$

Étape 8.2.3.7.4

Évaluez l’exposant.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2})}$

Étape 8.2.4

Associez $2$ et $\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 8.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.5.1

Réduisez l’expression $\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 8.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Étape 8.2.5.2

Divisez $243^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.6

La réponse finale est $- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{9}{2}$ la dérivée est $- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 9)$ .

Diminue sur $(0, 9)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(9, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - {(10)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - 1 \cdot 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.1.2

Soustrayez $100$ de $81$ .

$f' (10) = - \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2

La réponse finale est $- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.3

Sur $x = 10$ la dérivée est $- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(9, \infty)$ .

Diminue sur $(9, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 9, 0)$

Diminue sur : $(- \infty, - 9), (0, 9), (9, \infty)$

Étape 11