Algèbre Exemples

$\frac{5 x^{2} + 20 x y + 20 y^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} + 20 x y + 20 y^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 20 x y + 20 y^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $20 x y$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (4 x y) + 20 y^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $20 y^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (4 x y) + 5 (4 y^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 1.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2}) + 5 (4 x y)$ .

$\frac{5 (x^{2} + 4 x y) + 5 (4 y^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 1.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2} + 4 x y) + 5 (4 y^{2})$ .

$\frac{5 (x^{2} + 4 x y + 4 y^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + 4 x y + {(2 y)}^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x y = 2 \cdot x \cdot (2 y)$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (2 y) + {(2 y)}^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2 y$ .

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot - 6 = - 6$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} - 6 y^{2} - x y}$

Étape 2.1.2

Remettez dans l’ordre $- 6 y^{2}$ et $- x y$ .

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Étape 2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y$ .

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} - (x y) - 6 y^{2}}$

Étape 2.1.4

Réécrivez $- 1$ comme $2$ plus $- 3$

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} + (2 - 3) (x y) - 6 y^{2}}$

Étape 2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} + 2 (x y) - 3 (x y) - 6 y^{2}}$

Étape 2.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} + 2 x y - 3 x y - 6 y^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{(x^{2} + 2 x y) - 3 x y - 6 y^{2}}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x (x + 2 y) - 3 y (x + 2 y)}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2 y$ .

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{(x + 2 y) (x - 3 y)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(x + 2 y)}^{2}$ et $x + 2 y$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x + 2 y$ à partir de $5 {(x + 2 y)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2 y) (5 (x + 2 y))}{(x + 2 y) (x - 3 y)}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2 y) (5 (x + 2 y))}{(x + 2 y) (x - 3 y)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (x + 2 y)}{x - 3 y}$