Algèbre Exemples

$\frac{27 a^{3} - 1}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $27 a^{3}$ comme ${(3 a)}^{3}$ .

$\frac{{(3 a)}^{3} - 1}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{{(3 a)}^{3} - 1^{3}}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 3 a$ et $b = 1$ .

$\frac{(3 a - 1) ({(3 a)}^{2} + 3 a \cdot 1 + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de produit à $3 a$ .

$\frac{(3 a - 1) (3^{2} a^{2} + 3 a \cdot 1 + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Étape 1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a \cdot 1 + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Étape 1.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $9 a^{2}$ comme ${(3 a)}^{2}$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a)}^{2} - 6 a + 1}$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a)}^{2} - 6 a + 1^{2}}$

Étape 2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 a = 2 \cdot (3 a) \cdot 1$

Étape 2.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a)}^{2} - 2 \cdot (3 a) \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 3 a$ et $b = 1$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a - 1)}^{2}}$

Étape 3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Factorisez $3 a - 1$ à partir de ${(3 a - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{(3 a - 1) (3 a - 1)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{(3 a - 1) (3 a - 1)}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 a^{2} + 3 a + 1}{3 a - 1}$