Algèbre Exemples

$\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1

Simplifiez $\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x}$ .

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1.1

Divisez la fraction $\frac{5 x - 2}{2}$ en deux fractions.

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.1.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.1.3

Divisez la fraction $\frac{19 x + 6}{2 x}$ en deux fractions.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19 x}{2 x} + \frac{6}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19 x}{2 x} + \frac{6}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{6}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.1.4.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.1.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 (x)}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{3}{x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x}{2} - 1 - \frac{19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2 - 19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 2 - 19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.5.2

Soustrayez $19$ de $- 2$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $\frac{3 x - 2}{4}$ .

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Étape 1.2.1.1

Divisez la fraction $\frac{3 x - 2}{4}$ en deux fractions.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 2}{4}$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 1.2.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{2 (- 1)}{4}$

Étape 1.2.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.1

Soustrayez $\frac{3 x}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = - \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 1.4

Simplifiez $\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 x - 21 + 1}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 21$ et $1$ .

$\frac{5 x - 20}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Étape 1.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x - 20$ .

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Étape 1.4.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{5 (x) - 20}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Étape 1.4.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$\frac{5 x + 5 \cdot - 4}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Étape 1.4.3.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 x + 5 \cdot - 4$ .

$\frac{5 (x - 4)}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Étape 1.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Étape 1.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2, x, 4, 1$

Étape 2.2

Comme $2, x, 4, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $2, 1, 4, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.6

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2$

Étape 2.7

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $2, 1, 4, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 2$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 2.10

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 2.12

Le plus petit multiple commun pour $2, x, 4, 1$ est la partie numérique $4$ multipliée par la partie variable.

$4 x$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = 0$ par $4 x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = 0$ par $4 x$ .

$\frac{5 (x - 4)}{2} (4 x) - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \frac{5 (x - 4)}{2} x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{5 (x - 4)}{2} x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{5 (x - 4)}{2} x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (5 (x - 4)) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 (x - 4) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$(10 x + 10 \cdot - 4) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $10$ par $- 4$ .

$(10 x - 40) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$10 x \cdot x - 40 x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.7.1

Déplacez $x$ .

$10 (x \cdot x) - 40 x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$10 x^{2} - 40 x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{x}$ dans le numérateur.

$10 x^{2} - 40 x + \frac{- 3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.8.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$10 x^{2} - 40 x + \frac{- 3}{x} (x \cdot 4) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$10 x^{2} - 40 x + \frac{- 3}{x} (x \cdot 4) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$10 x^{2} - 40 x - 3 \cdot 4 - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.10

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x}{4}$ dans le numérateur.

$10 x^{2} - 40 x - 12 + \frac{- 3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.10.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 + \frac{- 3 x}{4} (4 (x)) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$10 x^{2} - 40 x - 12 + \frac{- 3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 x \cdot x = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 (x^{1} x) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 (x^{1} x^{1}) = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 x^{1 + 1} = 0 (4 x)$

Étape 3.2.1.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 x^{2} = 0 (4 x)$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0 (4 x)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $0 (4 x)$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0 x$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 12 = - 84$ et dont la somme est $b = - 40$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $- 40$ à partir de $- 40 x$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $- 40$ comme $2$ plus $- 42$

$7 x^{2} + (2 - 42) x - 12 = 0$

Étape 4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 2 x - 42 x - 12 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(7 x^{2} + 2 x) - 42 x - 12 = 0$

Étape 4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (7 x + 2) - 6 (7 x + 2) = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 x + 2$ .

$(7 x + 2) (x - 6) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 4.3

Définissez $7 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $7 x + 2$ égal à $0$ .

$7 x + 2 = 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $7 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$7 x = - 2$

Étape 4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = - 2$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = - 2$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Étape 4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Étape 4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{7}$

Étape 4.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 x + 2) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{7}, 6$