Algèbre Exemples

$\frac{5 (\cos (200) + i \sin (200))}{4 (\cos (50) + i \sin (50))}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{5 (\cos (200) + i \sin (200))}{2.57115043 + 3.06417777 i}$ par le conjugué de $2.57115043 + 3.06417777 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{5 (\cos (200) + i \sin (200))}{2.57115043 + 3.06417777 i} \cdot \frac{2.57115043 - 3.06417777 i}{2.57115043 - 3.06417777 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{5 (\cos (200) + i \sin (200)) (2.57115043 - 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Évaluez $\cos (200)$ .

$\frac{5 (- 0.93969262 + i \sin (200)) (2.57115043 - 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.1.2

Évaluez $\sin (200)$ .

$\frac{5 (- 0.93969262 + i \cdot - 0.34202014) (2.57115043 - 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.1.3

Déplacez $- 0.34202014$ à gauche de $i$ .

$\frac{5 (- 0.93969262 - 0.34202014 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 \cdot - 0.93969262 + 5 (- 0.34202014 i)) (2.57115043 - 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $- 0.93969262$ .

$\frac{(- 4.6984631 + 5 (- 0.34202014 i)) (2.57115043 - 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 0.34202014$ par $5$ .

$\frac{(- 4.6984631 - 1.71010071 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.5

Développez $(- 4.6984631 - 1.71010071 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4.6984631 (2.57115043 - 3.06417777 i) - 1.71010071 i (2.57115043 - 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4.6984631 \cdot 2.57115043 - 4.6984631 (- 3.06417777 i) - 1.71010071 i (2.57115043 - 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4.6984631 \cdot 2.57115043 - 4.6984631 (- 3.06417777 i) - 1.71010071 i \cdot 2.57115043 - 1.71010071 i (- 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.6.1.1

Multipliez $- 4.6984631$ par $2.57115043$ .

$\frac{- 12.08045547 - 4.6984631 (- 3.06417777 i) - 1.71010071 i \cdot 2.57115043 - 1.71010071 i (- 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.1.2

Multipliez $- 3.06417777$ par $- 4.6984631$ .

$\frac{- 12.08045547 + 14.3969262 i - 1.71010071 i \cdot 2.57115043 - 1.71010071 i (- 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.1.3

Multipliez $2.57115043$ par $- 1.71010071$ .

$\frac{- 12.08045547 + 14.3969262 i - 4.3969262 i - 1.71010071 i (- 3.06417777 i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.1.4

Multipliez $- 1.71010071 i (- 3.06417777 i)$ .

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Étape 2.2.6.1.4.1

Multipliez $- 3.06417777$ par $- 1.71010071$ .

$\frac{- 12.08045547 + 14.3969262 i - 4.3969262 i + 5.2400526 i i}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12.08045547 + 14.3969262 i - 4.3969262 i + 5.2400526 (i^{1} i)}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12.08045547 + 14.3969262 i - 4.3969262 i + 5.2400526 (i^{1} i^{1})}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12.08045547 + 14.3969262 i - 4.3969262 i + 5.2400526 i^{1 + 1}}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 12.08045547 + 14.3969262 i - 4.3969262 i + 5.2400526 i^{2}}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 12.08045547 + 14.3969262 i - 4.3969262 i + 5.2400526 \cdot - 1}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.1.6

Multipliez $5.2400526$ par $- 1$ .

$\frac{- 12.08045547 + 14.3969262 i - 4.3969262 i - 5.2400526}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $5.2400526$ de $- 12.08045547$ .

$\frac{- 17.32050807 + 14.3969262 i - 4.3969262 i}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.2.6.3

Soustrayez $4.3969262 i$ de $14.3969262 i$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(2.57115043 + 3.06417777 i) (2.57115043 - 3.06417777 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{2.57115043 (2.57115043 - 3.06417777 i) + 3.06417777 i (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{2.57115043 \cdot 2.57115043 + 2.57115043 (- 3.06417777 i) + 3.06417777 i (2.57115043 - 3.06417777 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{2.57115043 \cdot 2.57115043 + 2.57115043 (- 3.06417777 i) + 3.06417777 i \cdot 2.57115043 + 3.06417777 i (- 3.06417777 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2.57115043$ par $2.57115043$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 + 2.57115043 (- 3.06417777 i) + 3.06417777 i \cdot 2.57115043 + 3.06417777 i (- 3.06417777 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 3.06417777$ par $2.57115043$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 - 7.87846202 i + 3.06417777 i \cdot 2.57115043 + 3.06417777 i (- 3.06417777 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $2.57115043$ par $3.06417777$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 - 7.87846202 i + 7.87846202 i + 3.06417777 i (- 3.06417777 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 3.06417777$ par $3.06417777$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 - 7.87846202 i + 7.87846202 i - 9.38918542 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 - 7.87846202 i + 7.87846202 i - 9.38918542 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 - 7.87846202 i + 7.87846202 i - 9.38918542 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 - 7.87846202 i + 7.87846202 i - 9.38918542 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 - 7.87846202 i + 7.87846202 i - 9.38918542 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 7.87846202 i$ et $7.87846202 i$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 + 0 i - 9.38918542 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $i$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 + 0 - 9.38918542 i^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 + 0 - 9.38918542 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $- 9.38918542$ par $- 1$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 + 0 + 9.38918542}$

Étape 2.3.4

Additionnez $6.61081457$ et $0$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{6.61081457 + 9.38918542}$

Étape 2.3.5

Additionnez $6.61081457$ et $9.38918542$ .

$\frac{- 17.32050807 + 10 i}{16}$

Étape 3

Réécrivez $- 17.32050807$ comme $1 (- 17.32050807)$ .

$\frac{1 (- 17.32050807) + 10 i}{16}$

Étape 4

Factorisez $1$ à partir de $10 i$ .

$\frac{1 (- 17.32050807) + 1 (10 i)}{16}$

Étape 5

Factorisez $1$ à partir de $1 (- 17.32050807) + 1 (10 i)$ .

$\frac{1 (- 17.32050807 + 10 i)}{16}$

Étape 6

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$\frac{1 (- 17.32050807 + 10 i)}{16 (1)}$

Étape 7

Séparez les fractions.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 17.32050807 + 10 i}{1}$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Divisez $1$ par $16$ .

$0.0625 \frac{- 17.32050807 + 10 i}{1}$

Étape 8.2

Divisez $- 17.32050807 + 10 i$ par $1$ .

$0.0625 (- 17.32050807 + 10 i)$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$0.0625 \cdot - 17.32050807 + 0.0625 (10 i)$

Étape 10

Multipliez.

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Étape 10.1

Multipliez $0.0625$ par $- 17.32050807$ .

$- 1.08253175 + 0.0625 (10 i)$

Étape 10.2

Multipliez $10$ par $0.0625$ .

$- 1.08253175 + 0.625 i$