Algèbre Exemples

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$

Étape 1

Écrivez $y = x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [94 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $94$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $94 x^{2}$ par rapport à $x$ est $94 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 94 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 94 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $94$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 240$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 240 x$ par rapport à $x$ est $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 240$ par $1$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 + \frac{d}{d x} [225]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $225$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $225$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ et $0$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [188 x] + \frac{d}{d x} [- 240]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [188 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $188$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $188 x$ par rapport à $x$ est $188 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.4.3

Multipliez $188$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188 + \frac{d}{d x} (- 240)$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.5.1

Comme $- 240$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 240$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188 + 0$

Étape 3.5.2

Additionnez $12 x^{2} - 96 x + 188$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [94 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $94$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $94 x^{2}$ par rapport à $x$ est $94 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 94 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 94 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $94$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 240$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 240 x$ par rapport à $x$ est $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 240$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 + \frac{d}{d x} (225)$

Étape 5.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.5.1

Comme $225$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $225$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 + 0$

Étape 5.1.5.2

Additionnez $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 48 x^{2} + 188 x - 240 = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 12 x^{2}) + 188 x - 240 = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $188 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 12 x^{2}) + 4 (47 x) - 240 = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 240$ .

$4 x^{3} + 4 (- 12 x^{2}) + 4 (47 x) + 4 \cdot - 60 = 0$

Étape 6.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 (- 12 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 12 x^{2}) + 4 (47 x) + 4 \cdot - 60 = 0$

Étape 6.2.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 12 x^{2}) + 4 (47 x)$ .

$4 (x^{3} - 12 x^{2} + 47 x) + 4 \cdot - 60 = 0$

Étape 6.2.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 12 x^{2} + 47 x) + 4 \cdot - 60$ .

$4 (x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60) = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Étape 6.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Étape 6.2.2.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.2.2.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 47 \cdot 3 - 60$

Étape 6.2.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 12 \cdot 3^{2} + 47 \cdot 3 - 60$

Étape 6.2.2.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 12 \cdot 9 + 47 \cdot 3 - 60$

Étape 6.2.2.3.4

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$27 - 108 + 47 \cdot 3 - 60$

Étape 6.2.2.3.5

Soustrayez $108$ de $27$ .

$- 81 + 47 \cdot 3 - 60$

Étape 6.2.2.3.6

Multipliez $47$ par $3$ .

$- 81 + 141 - 60$

Étape 6.2.2.3.7

Additionnez $- 81$ et $141$ .

$60 - 60$

Étape 6.2.2.3.8

Soustrayez $60$ de $60$ .

$0$

Étape 6.2.2.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60}{x - 3}$

Étape 6.2.2.5

Divisez $x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60$ par $x - 3$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

Étape 6.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$

Étape 6.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 6.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 6.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Étape 6.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Étape 6.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Étape 6.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Étape 6.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 x^{2} + 27 x$

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Étape 6.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$

Étape 6.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Étape 6.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $20 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Étape 6.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							+	$20 x$	-	$60$

Étape 6.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $20 x - 60$

				$x^{2}$	-	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$

Étape 6.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$
										$0$

Étape 6.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 9 x + 20$

Étape 6.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x - 3) (x^{2} - 9 x + 20)) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez.

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $x^{2} - 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.2.3.1.1

Factorisez $x^{2} - 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.2.3.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 5, - 4$

Étape 6.2.3.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 ((x - 3) ((x - 5) (x - 4))) = 0$

Étape 6.2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 ((x - 3) (x - 5) (x - 4)) = 0$

Étape 6.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 3) (x - 5) (x - 4) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 3) (x - 5) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 3, 5, 4$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 3, 5, 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 188$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 9 - 96 \cdot 3 + 188$

Étape 10.1.2

Multipliez $12$ par $9$ .

$108 - 96 \cdot 3 + 188$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 96$ par $3$ .

$108 - 288 + 188$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $288$ de $108$ .

$- 180 + 188$

Étape 10.2.2

Additionnez $- 180$ et $188$ .

$8$

Étape 11

$x = 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = {(3)}^{4} - 16 {(3)}^{3} + 94 {(3)}^{2} - 240 \cdot 3 + 225$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (3) = 81 - 16 {(3)}^{3} + 94 {(3)}^{2} - 240 \cdot 3 + 225$

Étape 12.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 81 - 16 \cdot 27 + 94 {(3)}^{2} - 240 \cdot 3 + 225$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $27$ .

$f (3) = 81 - 432 + 94 {(3)}^{2} - 240 \cdot 3 + 225$

Étape 12.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 81 - 432 + 94 \cdot 9 - 240 \cdot 3 + 225$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $94$ par $9$ .

$f (3) = 81 - 432 + 846 - 240 \cdot 3 + 225$

Étape 12.2.1.6

Multipliez $- 240$ par $3$ .

$f (3) = 81 - 432 + 846 - 720 + 225$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.2.1

Soustrayez $432$ de $81$ .

$f (3) = - 351 + 846 - 720 + 225$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $- 351$ et $846$ .

$f (3) = 495 - 720 + 225$

Étape 12.2.2.3

Soustrayez $720$ de $495$ .

$f (3) = - 225 + 225$

Étape 12.2.2.4

Additionnez $- 225$ et $225$ .

$f (3) = 0$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(5)}^{2} - 96 \cdot 5 + 188$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 25 - 96 \cdot 5 + 188$

Étape 14.1.2

Multipliez $12$ par $25$ .

$300 - 96 \cdot 5 + 188$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 96$ par $5$ .

$300 - 480 + 188$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.2.1

Soustrayez $480$ de $300$ .

$- 180 + 188$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 180$ et $188$ .

$8$

Étape 15

$x = 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = {(5)}^{4} - 16 {(5)}^{3} + 94 {(5)}^{2} - 240 \cdot 5 + 225$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$f (5) = 625 - 16 {(5)}^{3} + 94 {(5)}^{2} - 240 \cdot 5 + 225$

Étape 16.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (5) = 625 - 16 \cdot 125 + 94 {(5)}^{2} - 240 \cdot 5 + 225$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $125$ .

$f (5) = 625 - 2000 + 94 {(5)}^{2} - 240 \cdot 5 + 225$

Étape 16.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = 625 - 2000 + 94 \cdot 25 - 240 \cdot 5 + 225$

Étape 16.2.1.5

Multipliez $94$ par $25$ .

$f (5) = 625 - 2000 + 2350 - 240 \cdot 5 + 225$

Étape 16.2.1.6

Multipliez $- 240$ par $5$ .

$f (5) = 625 - 2000 + 2350 - 1200 + 225$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.1

Soustrayez $2000$ de $625$ .

$f (5) = - 1375 + 2350 - 1200 + 225$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $- 1375$ et $2350$ .

$f (5) = 975 - 1200 + 225$

Étape 16.2.2.3

Soustrayez $1200$ de $975$ .

$f (5) = - 225 + 225$

Étape 16.2.2.4

Additionnez $- 225$ et $225$ .

$f (5) = 0$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 188$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 16 - 96 \cdot 4 + 188$

Étape 18.1.2

Multipliez $12$ par $16$ .

$192 - 96 \cdot 4 + 188$

Étape 18.1.3

Multipliez $- 96$ par $4$ .

$192 - 384 + 188$

Étape 18.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 18.2.1

Soustrayez $384$ de $192$ .

$- 192 + 188$

Étape 18.2.2

Additionnez $- 192$ et $188$ .

$- 4$

Étape 19

$x = 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un maximum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = {(4)}^{4} - 16 {(4)}^{3} + 94 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4 + 225$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f (4) = 256 - 16 {(4)}^{3} + 94 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4 + 225$

Étape 20.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (4) = 256 - 16 \cdot 64 + 94 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4 + 225$

Étape 20.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $64$ .

$f (4) = 256 - 1024 + 94 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4 + 225$

Étape 20.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 256 - 1024 + 94 \cdot 16 - 240 \cdot 4 + 225$

Étape 20.2.1.5

Multipliez $94$ par $16$ .

$f (4) = 256 - 1024 + 1504 - 240 \cdot 4 + 225$

Étape 20.2.1.6

Multipliez $- 240$ par $4$ .

$f (4) = 256 - 1024 + 1504 - 960 + 225$

Étape 20.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 20.2.2.1

Soustrayez $1024$ de $256$ .

$f (4) = - 768 + 1504 - 960 + 225$

Étape 20.2.2.2

Additionnez $- 768$ et $1504$ .

$f (4) = 736 - 960 + 225$

Étape 20.2.2.3

Soustrayez $960$ de $736$ .

$f (4) = - 224 + 225$

Étape 20.2.2.4

Additionnez $- 224$ et $225$ .

$f (4) = 1$

Étape 20.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$ .

$(3, 0)$ est un minimum local

$(5, 0)$ est un minimum local

$(4, 1)$ est un maximum local

Étape 22