Algèbre Exemples

$2 e^{- x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} (2 x)$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = - 4 e^{- x^{2}} x$

Étape 1.3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 4 x e^{- x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 4 e^{- x^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = 8 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 e^{- x^{2}}$

Étape 2.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 8 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 e^{- x^{2}}$

Étape 2.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 e^{- x^{2}}$