Algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Étape 2

C’est la forme normalisée d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer l’excentricité.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \sqrt{15}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 6.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{15^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{15 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{1}}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{15 + 5}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.3

Additionnez $15$ et $5$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{15}}$

Étape 6.2

Associez $\sqrt{5}$ et $\sqrt{15}$ en un radical unique.

$2 \sqrt{\frac{5}{15}}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $5$ et $15$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$2 \sqrt{\frac{5 (1)}{15}}$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 6.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 6.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 6.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 6.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 6.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 6.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 6.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 6.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 6.8

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$1.15470053 \dots$

Étape 8