Algèbre Exemples

$x^{5} = - x y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{5}) = \frac{d}{d x} (- x y^{3})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Étape 3.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Étape 3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 x^{4} = - y^{3} - 3 y^{2} x y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- y^{3} - 3 y^{2} x y' = 5 x^{4}$ .

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' = 5 x^{4}$

Étape 5.2

Ajoutez $y^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} x y' = 5 x^{4} + y^{3}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 y^{2} x y' = 5 x^{4} + y^{3}$ par $- 3 y^{2} x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y^{2} x y' = 5 x^{4} + y^{3}$ par $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{- 3 y^{2} x y'}{- 3 y^{2} x} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} x} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y^{2} x y'}{- 3 y^{2} x} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} x} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} x y'}{y^{2} x} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} x} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} x y'}{y^{2} x} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} x} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y'}{x} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} x} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} x} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} x} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{4}$ .

$y' = \frac{x (5 x^{3})}{- 3 y^{2} x} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{x (5 x^{3})}{x (- 3 y^{2})} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (5 x^{3})}{x (- 3 y^{2})} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{5 x^{3}}{- 3 y^{2}} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5 x^{3}}{3 y^{2}} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$y' = - \frac{5 x^{3}}{3 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{- 3 y^{2} x}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 3 y^{2} x$ .

$y' = - \frac{5 x^{3}}{3 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} (- 3 x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{5 x^{3}}{3 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} (- 3 x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{5 x^{3}}{3 y^{2}} + \frac{y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5 x^{3}}{3 y^{2}} - \frac{y}{3 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{3}}{3 y^{2}} - \frac{y}{3 x}$