Algèbre Exemples

$\frac{10 x^{3} - 25 x}{5 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 10 x^{3} - 25 x$ et $g (x) = 5 x$ .

$\frac{5 x \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 25 x] - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x^{3} - 25 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

$\frac{5 x (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5 x (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5 x (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25 x$ par rapport à $x$ est $- 25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25 \frac{d}{d x} [x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25 \cdot 1) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez $- 25$ par $1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) (5 \cdot 1)}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{{(5 x)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 + (- (10 x^{3}) - (- 25 x)) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 \cdot 30 x \cdot x^{2} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.5.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x^{1}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \cdot 30 x^{2 + 1} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 x^{3} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.3

Multipliez $5$ par $30$ .

$\frac{150 x^{3} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $- 25$ par $5$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.5

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 10 x^{3} \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.6

Multipliez $5$ par $- 10$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.7

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 25 x \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.1.8

Multipliez $5$ par $25$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 125 x}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.2

Associez les termes opposés dans $150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 125 x$ .

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Étape 6.5.2.1

Additionnez $- 125 x$ et $125 x$ .

$\frac{150 x^{3} - 50 x^{3} + 0}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.2.2

Additionnez $150 x^{3} - 50 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{150 x^{3} - 50 x^{3}}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.5.3

Soustrayez $50 x^{3}$ de $150 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{3}}{5^{2} x^{2}}$

Étape 6.6

Associez des termes.

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Étape 6.6.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{100 x^{3}}{25 x^{2}}$

Étape 6.6.2

Annulez le facteur commun à $100$ et $25$ .

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Étape 6.6.2.1

Factorisez $25$ à partir de $100 x^{3}$ .

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 x^{2}}$

Étape 6.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.6.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x^{2}$ .

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 (x^{2})}$

Étape 6.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 x^{2}}$

Étape 6.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{3}}{x^{2}}$

Étape 6.6.3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.6.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2}}$

Étape 6.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.6.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1}$

Étape 6.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1}$

Étape 6.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x}{1}$

Étape 6.6.3.2.4

Divisez $4 x$ par $1$ .

$4 x$