Algèbre Exemples

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = h + r \cos (t)$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $h + r \cos (t) = x$ .

$h + r \cos (t) = x$

Étape 3

Soustrayez $h$ des deux côtés de l’équation.

$r \cos (t) = x - h$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $r \cos (t) = x - h$ par $r$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $r \cos (t) = x - h$ par $r$ .

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\cos (t)$ par $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du cosinus.

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

Étape 6

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Étape 7

Supprimez les parenthèses.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Étape 8

Simplifiez $k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ .

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ , $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ est $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ .

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Étape 8.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Étape 8.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

Étape 8.1.4

Simplifiez

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Étape 8.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.4.2

Multipliez $- - \frac{h}{r}$ .

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Étape 8.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.4.2.2

Multipliez $\frac{h}{r}$ par $1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.8.1

Déplacez $x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.8.2

Remettez dans l’ordre $r$ et $- h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

Étape 8.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Étape 8.1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.12.1

Déplacez $- x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

Étape 8.1.12.2

Remettez dans l’ordre $r$ et $h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

Étape 8.1.13

Multipliez $\frac{- h + r + x}{r}$ par $\frac{h + r - x}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

Étape 8.1.14

Multipliez $r$ par $r$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

Étape 8.1.15

Réécrivez $\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ comme ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ .

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Étape 8.1.15.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(- h + r + x) (h + r - x)$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

Étape 8.1.15.2

Factorisez la puissance parfaite $r^{2}$ dans $r^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

Étape 8.1.15.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

Étape 8.1.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

Étape 8.1.17

Associez $\frac{1}{r}$ et $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Étape 8.1.18

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 8.1.18.1

Annulez le facteur commun.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Étape 8.1.18.2

Réécrivez l’expression.

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

Étape 8.2

Remettez dans l’ordre $k$ et $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$