Algèbre Exemples

$\cot (- \frac{5 π}{12})$

Étape 1

Remplacez $\cot (- \frac{5 π}{12})$ par une expression équivalente $\frac{1}{\tan (- \frac{5 π}{12})}$ en utilisant les identités fondamentales.

$\frac{1}{\tan (- \frac{5 π}{12})}$

Étape 2

Utilisez une formule de somme ou de différence sur le dénominateur.

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Étape 2.1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $- \frac{5 π}{12}$ peut être divisé en $\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4}$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4})}$

Étape 2.2

Utilisez la formule de la différence pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 2.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 2.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 2.4.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} - (- 1 \cdot 1)}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 2.4.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 2.5.2

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- \tan (\frac{π}{4}))}}$

Étape 2.5.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- 1 \cdot 1)}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot - 1}}$

Étape 2.5.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}}}$

Étape 2.5.6

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ par $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}}$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ par $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}}$

Étape 2.7.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 2.7.3

Simplifiez

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Étape 2.8.2

Élevez $1 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Étape 2.8.3

Élevez $1 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Étape 2.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

Étape 2.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

Étape 2.9

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Étape 2.10

Développez $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Étape 2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Étape 2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Étape 2.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Étape 2.11.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}}$

Étape 2.11.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}}$

Étape 2.11.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}}$

Étape 2.11.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Étape 2.11.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}}$

Étape 2.11.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Étape 2.12

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $- 2$ .

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Étape 2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Étape 2.12.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}}$

Étape 2.12.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Étape 2.12.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})}$

Étape 2.13

Réécrivez $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ comme $- (2 + \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{- (2 + \sqrt{3})}$

Étape 2.14

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Étape 2.15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Étape 3.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{1}$

Étape 3.5

Divisez $- 2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 + \sqrt{3}$

Forme décimale :

$- 0.26794919 \dots$