Algèbre Exemples

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 50 x + 75$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm 75, \pm \frac{75}{2}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{3}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{27}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{27}{8}) - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 \frac{27}{2 (4)} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{27}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.8

Multipliez $- 3 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 4.1.8.1

Associez $- 3$ et $\frac{9}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.8.2

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Étape 4.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 50$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 25) \frac{3}{2} + 75$

Étape 4.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 25 \frac{3}{2} + 75$

Étape 4.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 25 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.11

Multipliez $- 25$ par $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 75 + 75$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 75 + 75 + \frac{27 - 27}{4}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $27$ de $27$ .

$- 75 + 75 + \frac{0}{4}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $- 75$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 75}{1} + 75 + \frac{0}{4}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{- 75}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 75}{1} \cdot \frac{4}{4} + 75 + \frac{0}{4}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{- 75}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 75 \cdot 4}{4} + 75 + \frac{0}{4}$

Étape 4.3.4

Écrivez $75$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 75 \cdot 4}{4} + \frac{75}{1} + \frac{0}{4}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{75}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 75 \cdot 4}{4} + \frac{75}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Étape 4.3.6

Multipliez $\frac{75}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 75 \cdot 4}{4} + \frac{75 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 75 \cdot 4 + 75 \cdot 4}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 75$ par $4$ .

$\frac{- 300 + 75 \cdot 4}{4}$

Étape 4.5.2

Multipliez $75$ par $4$ .

$\frac{- 300 + 300}{4}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $- 300$ et $300$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 4.6.2

Divisez $0$ par $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{3}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{3}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 50 x + 75}{x - \frac{3}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{3}{2})$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$
	$2$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(\frac{3}{2})$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 50)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$	$0$
	$2$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$	$0$
	$2$	$0$	$- 50$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 50)$ par le diviseur $(\frac{3}{2})$ et placez le résultat de $(- 75)$ sous le terme suivant dans le dividende $(75)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$2$	$0$	$- 50$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$2$	$0$	$- 50$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{2} + 0 x - 50$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{2} - 50$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 50$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2}) - 50)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 50$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot - 25)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot - 25$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 25))$

Étape 8

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 5^{2}))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 ((x + 5) (x - 5)))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x + 5) (x - 5))$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) - 50 x + 75 = 0$

Étape 10.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (2 x - 3) - 25 (2 x - 3) = 0$

Étape 10.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

Étape 10.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(2 x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 10.4

Factorisez.

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Étape 10.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(2 x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 10.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 12

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 13

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 14

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{2}, - 5, 5$

Étape 16